30. Sejam a_(1),a_(2),a_(3),a_(4),a_(5) numeros estritamente positivos tais que log_(2)^a_(1),log_(2)^a_(2),log_(2)^a,log_(2)^a log_(2)^5 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 1/2 Se a_(1)=4 entǎo o valor da soma a_(1)+a_(2)+a_(3)+a_(4)+a_(5) e igual a a) 24+sqrt (2) b) 24+2sqrt (2) c) 24+12sqrt (2) 28+12sqrt (2) e) 28+18sqrt (2)

Vamos corrigir a abordagem e resolver o problema passo a passo.<br /><br />Dado que \( \log_2 a_1, \log_2 a_2, \log_2 a_3, \log_2 a_4, \log_2 a_5 \) formam uma progressão aritmética de razão \( \frac{1}{2} \), e \( a_1 = 4 \), podemos escrever:<br /><br />\[ \log_2 a_1 = \log_2 4 = 2 \]<br /><br />Como a razão é \( \frac{1}{2} \), temos:<br /><br />\[ \log_2 a_2 = 2 + \frac{1}{2} = 2.5 \]<br />\[ \log_2 a_3 = 2.5 + \frac{1}{2} = 3 \]<br />\[ \log_2 a_4 = 3 + \frac{1}{2} = 3.5 \]<br />\[ \log_2 a_5 = 3.5 + \frac{1}{2} = 4 \]<br /><br />Agora, podemos encontrar \( a_2, a_3, a_4, a_5 \) usando as propriedades dos logaritmos:<br /><br />\[ a_2 = 2^{2.5} = 2^{2 + \frac{1}{2}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 4 \sqrt{2} \]<br />\[ a_3 = 2^3 = 8 \]<br />\[ a_4 = 2^{3.5} = 2^{3 + \frac{1}{2}} = 8 \sqrt{2} \]<br />\[ a_5 = 2^4 = 16 \]<br /><br />A soma \( a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \) é:<br /><br />\[ 4 + 4\sqrt{2} + 8 + 8\sqrt{2} + 16 \]<br /><br />Somando os termos sem raiz:<br /><br />\[ 4 + 8 + 16 = 28 \]<br /><br />Somando os termos com raiz:<br /><br />\[ 4\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \]<br /><br />Portanto, a soma é:<br /><br />\[ 28 + 12\sqrt{2} \]<br /><br />A resposta correta é:<br /><br />d) \( 28 + 12\sqrt{2} \)