15-18 Utilize a integral dupla para determinar a área da região. 15. Um laço da rosácea r=cos3Theta

Para determinar a área da região dada pelo laço da rosácea \( r = \cos(3\theta) \) usando a integral dupla, podemos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Definir a região de integração**: O laço da rosácea é uma curva polar. Para \( r = \cos(3\theta) \), precisamos determinar os limites de \(\theta\) e \(r\).<br /><br />2. **Limites de \(\theta\)**: Como \( r = \cos(3\theta) \), o valor máximo de \( r \) ocorre quando \( \cos(3\theta) = 1 \). Isso acontece quando \( 3\theta = 0 \) ou múltiplos de \( 2\pi \). Portanto, \( \theta \) varia de 0 a \( \frac{2\pi}{3} \) para um período completo do laço.<br /><br />3. **Limites de \(r\)**: Para \( r = \cos(3\theta) \), \( r \) varia de 0 a 1.<br /><br />4. **Integral dupla**: A área \( A \) da região é dada pela integral dupla:<br /> \[<br /> A = \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} \int_{0}^{1} r \, dr \, d\theta<br /> \]<br /><br />5. **Calcular a integral interna**:<br /> \[<br /> \int_{0}^{1} r \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}<br /> \]<br /><br />6. **Calcular a integral externa**:<br /> \[<br /> \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}<br /> \]<br /><br />Portanto, a área da região é:<br />\[<br />A = \frac{\pi}{3}<br />\]