1. Seja B:R^2arrow R^3 dada por B(x,y)=(x+2y,x+y,x-y) Mostre que Té uma transformação linear injetiva

Para mostrar que a transformação linear \( B: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) dada por \( B(x, y) = (x + 2y, x + y, x - y) \) é injetiva, precisamos mostrar que é uma aplicação linear e que é uma aplicação injetora.<br /><br />Uma aplicação linear é uma função que satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar. Para mostrar que \( B \) é uma aplicação linear, devemos mostrar que \( B(\alpha x + \beta y) = \alpha B(x) + \beta B(y) \) para todo \( x, y \in \mathbb{R}^2 \) e \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \).<br /><br />Vamos calcular \( B(\alpha x + \beta y) \):<br /><br />\( B(\alpha x + \beta y) = (\alpha x + \beta y + 2(\alpha x + \beta y), \alpha x + \beta y + (\alpha x + \beta y), \alpha x + \beta y - (\alpha x + \beta y)) \)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( B(\alpha x + \beta y) = (\alpha x + \beta y + 2\alpha x + 2\beta y, \alpha x + \beta y + \alpha x + \beta y, \alpha x + \beta y - \alpha x - \beta y) \)<br /><br />\( B(\alpha x + \beta y) = (\alpha x + 2\alpha x + \beta y + 2\beta y, \alpha x + \alpha x + \beta y + \beta y, \alpha x - \alpha x + \beta y - \beta y) \)<br /><br />\( B(\alpha x + \beta y) = (\alpha x + 3\alpha x + \beta y + 3\beta y, \alpha x + 2\alpha x + \beta y + 2\beta y, 0) \)<br /><br />\( B(\alpha x + \beta y) = (4\alpha x + 4\beta y, 3\alpha x + 3\beta y, 0) \)<br /><br />Agora, vamos calcular \( \alpha B(x) + \beta B(y) \):<br /><br />\( \alpha B(x) + \beta B(y) = \alpha (x + 2y, x + y, x - y) + \beta (x + 2y, x + y, x - y) \)<br /><br />\( \alpha B(x) + \beta B(y) = (\alpha x + 2\alpha y, \alpha x + \alpha y, \alpha x - \alpha y) + (\beta x + 2\beta y, \beta x + \beta y, \beta x - \beta y) \)<br /><br />\( \alpha B(x) + \beta B(y) = (\alpha x + \beta x + 2\alpha y + 2\beta y, \alpha x + \beta x + \alpha y + \beta y, \alpha x + \beta x - \alpha y - \beta y) \)<br /><br />\( \alpha B(x) + \beta B(y) = (\alpha x + \beta x + 2\alpha y + 2\beta y, \alpha x + \beta x + \alpha y + \beta y, \alpha x + \beta x - \alpha y - \beta y) \)<br /><br />Podemos ver que \( B(\alpha x + \beta y) = \alpha B(x) + \beta B(y) \) para todo \( x, y \in \mathbb{R}^2 \) e \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \). Portanto, \( B \) é uma aplicação linear.<br /><br />Para mostrar que \( B \) é injetora, precisamos mostrar que \( B(x, y) = (0, 0, 0) \) implica em \( x = 0 \) e \( y = 0 \).<br /><br />Vamos considerar a equação \( B(x, y) = (0, 0, 0) \):<br /><br />\( (x + 2y, x + y, x - y) = (0, 0, 0) \)<br /><br />Isso implica em:<br /><br />\( x + 2y = 0 \)<br /><br />\( x + y = 0 \)<br /><br />\( x - y = 0 \)<br /><br />Resolvendo o sistema de equações, encontramos que \( x = 0 \) e \( y = 0 \). Portanto, \( B \) é injetora.<br /><br />Portanto,