Exercício 1. Seja R a relação sobre R dada por xRyLongleftrightarrow x^2+y^2=1 A relação Ré transitiva?

Para determinar se a relação \( R \) é transitiva, precisamos verificar se, para quaisquer \( x, y, z \) em \( R \), se \( xRy \) e \( yRz \) implicam que \( xRz \).<br /><br />Dado que \( xRy \Longleftrightarrow x^2 + y^2 = 1 \) e \( yRz \Longleftrightarrow y^2 + z^2 = 1 \), precisamos verificar se \( x^2 + y^2 = 1 \) e \( y^2 + z^2 = 1 \) implicam que \( x^2 + z^2 = 1 \).<br /><br />Vamos considerar os possíveis valores de \( x, y, z \) que satisfazem as equações \( x^2 + y^2 = 1 \) e \( y^2 + z^2 = 1 \):<br /><br />1. Se \( x = 1 \) e \( y = 0 \), então \( x^2 + y^2 = 1 \) é satisfeito, mas \( y^2 + z^2 = 1 \) não é satisfeito para nenhum valor de \( z \) que seja diferente de \( 0 \). Portanto, \( xRy \) e \( yRz \) não impõem \( xRz \).<br /><br />2. Se \( x = 0 \) e \( y = 1 \), então \( x^2 + y^2 = 1 \) é satisfeito, mas \( y^2 + z^2 = 1 \) não é satisfeito para valor de \( z \) que seja diferente de \( 0 \). Portanto, \( xRy \) e \( yRz \) não impõem \( xRz \).<br /><br />3. Se \( x = 0 \) e \( y = 0 \), então \( x^2 + y^2 = 1 \) não é satisfeito. Portanto, \( xRy \) não é verdadeiro.<br /><br />Portanto, a relação \( R \) não é transitiva, pois não é possível garantir que \( xRy \) e \( yRz \) impõem \( xRz \) para todos os valores de \( x, y, z \) que satisfazem as equações dadas.