y=e^xcosx Verifique que (d^2y)/(dx^2)-2(dy)/(dx)+2y=0

Para verificar a igualdade dada, primeiro precisamos calcular as derivadas de $y$ em relação a $x$.<br /><br />A primeira derivada de $y$ é dada por:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = e^x \cos(x) - e^x \sin(x)$<br /><br />A segunda derivada de $y$ é dada por:<br /><br />$\frac{d^2y}{dx^2} = e^x (\cos(x) - \sin(x)) - 2e^x \cos(x) - e^x \sin(x)$<br /><br />Agora, substituindo essas derivadas na igualdade dada, temos:<br /><br />$\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = (e^x (\cos(x) - \sin(x)) - 2e^x \cos(x) - e^x \sin(x)) - 2(e^x \cos(x) - e^x \sin(x)) + 2(e^x \cos(x))$<br /><br />Simplificando essa expressão, temos:<br /><br />$\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = e^x (\cos(x) - \sin(x)) - 2e^x \cos(x) - e^x \sin(x) - 2e^x \cos(x) + 2e^x \sin(x) + 2e^x \cos(x)$<br /><br />Observando que todos os termos se cancelam, temos:<br /><br />$\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0$<br /><br />Portanto, a igualdade dada está verificada.