5) As transformações lineares são fundamentais no estudo da Algebra Linear porque elas representam a maneira como vetores e espaços vetorials podem ser map espaço a outro, permitindo entender como os vetores se comportam sob mudanças de base, rotações, reflexões escalonamentos e translações. Considerando o contexto das transformações lineares sobre um espaço vetorial, analise as afirmativas a seguir. 1. Algumas transformações lineares mantêm determinados vetores com mesma direção a menos de um escalar fixo. II. O operador linear dado pela matriz de transformação A = A=(} 0&7&-6 -1&4&0 0&2&-2 ) é diagonalizável. III. Matrizes semelhantes têm mesmo polinômio caracteristico. IV. Autovetores associados a autovalores distintos em uma matriz simétrica são necessariamente ortogonais. E correto APENAS o que se afirma em: Alternativas: a) le III. b) IIe IV. c) 1,11 e III. d) 1,11 e IV.

resposta correta é a alternativa d) 1, II e IV.<br /><br />Vamos analisar cada uma das afirmativas:<br /><br />I. Algumas transformações lineares mantêm determinados vetores com mesma direção a menos de um escalar fixo.<br />Esta afirmativa está correta. Essas transformações são chamadas de homomorfismos e são importantes no estudo de estruturas algébricas.<br /><br />II. O operador linear dado pela matriz de transformação A = $A=(\begin{matrix} 0&7&-6\\ -1&4&0\\ 0&2&-2\end{matrix} )$ é diagonalizável.<br />Para determinar se uma matriz é diagonalizável, é necessário calcular o seu espectro, ou seja, os autovalores. Se todos os autovalores são diferentes, a matriz é diagonalizável. Neste caso, a matriz A possui autovalores distintos, portanto, é diagonalizável. Assim, esta afirmativa está correta.<br /><br />III. Matrizes semelhantes têm mesmo polinômio característico.<br />Esta afirmativa está correta. Matrizes semelhantes possuem o mesmo polinômio característico, que é uma forma de classificar as matrizes.<br /><br />IV. Autovetores associados a autovalores distintos em uma matriz simétrica são necessariamente ortogonais.<br />Esta afirmativa está correta. Em uma matriz simétrica, os autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais entre si.<br /><br />Portanto, a alternativa correta é a d) 1, II e IV.