EXEMPLO 8.Suponha f derivável em p e seja rho (x),xin D_(f)exneq p dada por f(x)=f(p)+f(p)(x-p)+p(x)(x-p) Mostre que lim _(xarrow p)rho (x)=0

Para mostrar que $\lim_{x \to p} \rho(x) = 0$, vamos analisar a expressão dada para $f(x)$:<br /><br />$f(x) = f(p) + f'(p)(x - p) + \rho(x)(x - p)$<br /><br />Queremos encontrar o limite de $\rho(x)$ quando $x$ se aproxima de $p$. Para isso, vamos considerar a expressão acima e manipulá-la para isolar $\rho(x)$.<br /><br />Subtraindo $f(p) + f'(p)(x - p)$ de ambos os lados, obtemos:<br /><br />$f(x) - f(p) - f'(p)(x - p) = \rho(x)(x - p)$<br /><br />Agora, vamos calcular o limite de ambos os lados da equação quando $x$ se aproxima de $p$:<br /><br />$\lim_{x \to p} \left( f(x) - f(p) - f'(p)(x - p) \right) = \lim_{x \to p} \rho(x)(x - p)$<br /><br />Como $f(x)$ é derivável, sabemos que $\lim_{x \to p} \left( f(x) - f(p) - f'(p)(x - p) \right) = 0$. Portanto, temos:<br /><br />$0 = \lim_{x \to p} \rho(x)(x - p)$<br /><br />Como $x - p \neq 0$ quando $x \neq p$, podemos dividir ambos os lados da equação por $(x - p)$:<br /><br />$0 = \lim_{x \to p} \rho(x)$<br /><br />Portanto, concluímos que $\lim_{x \to p} \rho(x) = 0$.