4. Se um investimento de R 300 rende R 45 em 3 meses, quanto renderá o mesmo investimento em 8 meses considerando a mesma taxa de rendimento? A) R 90 B) R 120 C) R 135 D) R 60

Para resolver esse problema, podemos usar a fórmula do montante (valor final do investimento) em juros compostos:<br /><br />\[ M = P \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \]<br /><br />Onde:<br />- \( M \) é o montante (valor final do investimento)<br />- \( P \) é o principal (valor inicial do investimento)<br />- \( r \) é a taxa de rendimento<br />- \( n \) é a quantidade de vezes que a taxa de rendimento é aplicada por período<br />- \( t \) é o tempo em anos<br /><br />No caso em questão, sabemos que o investimento de R$ 300 rendeu R$ 45 em 3 meses. Vamos calcular a taxa de rendimento:<br /><br />\[ 45 = 300 \times \left(1 + \frac{r}{12}\right)^3 \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 300:<br /><br />\[ \frac{45}{300} = \left(1 + \frac{r}{12}\right)^3 \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ \frac{3}{20} = \left(1 + \frac{r}{12}\right)^3 \]<br /><br />Tomando a raiz cúbica de ambos os lados:<br /><br />\[ \left(\frac{3}{20}\right)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{r}{12} \]<br /><br />\[ \left(\frac{3}{20}\right)^{\frac{1}{3}} - 1 = \frac{r}{12} \]<br /><br />\[ r = 12 \times \left(\left(\frac{3}{20}\right)^{\frac{1}{3}} - 1\right) \]<br /><br />Calculando a raiz cúbica de \(\frac{3}{20}\):<br /><br />\[ \left(\frac{3}{20}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.584 \]<br /><br />Então:<br /><br />\[ r \approx 12 \times (0.584 - 1) \]<br /><br />\[ r \approx 12 \times (-0.416) \]<br /><br />\[ r \approx -4.992 \]<br /><br />A taxa de rendimento é aproximadamente -4.992 ou -0.416 ou -41,6%.<br /><br />Agora, vamos calcular quanto esse investimento renderá em 8 meses:<br /><br />\[ M = 300 \times \left(1 + \frac{-0.416}{12}\right)^{12 \times \frac{8}{12}} \]<br /><br />\[ M = 300 \times \left(1 - 0.03467\right)^8 \]<br /><br />\[ M = 300 \times \left(0.96533\right)^8 \]<br /><br />\[ M \approx 300 \times 0.698 \]<br /><br />\[ M \approx 209,4 \]<br /><br />Portanto, o investimento renderá aproximadamente R$ 209,4 em 8 meses. Nenhuma das opções fornecidas está correta.