log_(5)[(x-1)cdot (x+3)]=1 log_(5)(x-1)+log_(5)(x+3)=1

Para resolver a equação \( \log_{5}[(x-1)\cdot (x+3)]=1 \), podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.<br /><br />Aplicando essa propriedade, temos:<br /><br />\( \log_{5}[(x-1)\cdot (x+3)] = \log_{5}(x-1) + \log_{5}(x+3) \)<br /><br />Agora, podemos substituir essa expressão na equação original:<br /><br />\( \log_{5}(x-1) + \log_{5}(x+3) = 1 \)<br /><br />Para resolver essa equação, podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que a soma de dois logaritmos com a mesma base é igual ao logaritmo do produto dos argumentos.<br /><br />Aplicando essa propriedade, temos:<br /><br />\( \log_{5}[(x-1)\cdot (x+3)] = 1 \)<br /><br />Agora, podemos reescrever a equação em forma exponencial:<br /><br />\( 5^1 = (x-1)\cdot (x+3) \)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( 5 = (x-1)\cdot (x+3) \)<br /><br />Para resolver essa equação quadrática, podemos usar o método de fatoração, completar o quadrado ou usar a fórmula de Bhaskara. Neste caso, a fatoração é a opção mais simples:<br /><br />\( 5 = (x-1)\cdot (x+3) \)<br /><br />\( 5 = x^2 + 2x - 3 \)<br /><br />\( x^2 + 2x - 8 = 0 \)<br /><br />Agora, podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação quadrática:<br /><br />\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)<br /><br />Onde a = 1, b = 2 e c = -8.<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:<br /><br />\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} \)<br /><br />\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \)<br /><br />\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \)<br /><br />\( x = \frac{-2 \pm 6}{2} \)<br /><br />Portanto, as soluções para a equação são:<br /><br />\( x = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)<br /><br />\( x = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \)<br /><br />No entanto, é importante verificar se essas soluções são válidas para a equação original. Substituindo \( x = 2 \) na equação original, temos:<br /><br />\( \log_{5}[(2-1)\cdot (2+3)] = 1 \)<br /><br />\( \log_{5}(1\cdot 5) = 1 \)<br /><br />\( \log_{5}(5) = 1 \)<br /><br />Que é verdadeiro.<br /><br />Substituindo \( x = -4 \) na equação original, temos:<br /><br />\( \log_{5}[( -4-1)\cdot (-4+3)] = 1 \)<br /><br />\( \log_{5}(-5\cdot -1) = 1 \)<br /><br />\( \log_{5}(5) = 1 \)<br /><br />Que também é verdadeiro.<br /><br />Portanto, ambas as soluções são válidas para a equação original.