. Sc y=(1)/(1-2x) prove, por indução matemática, que (d^ny)/(dx^n)=(2^nn!)/((1-2x)^n+1)

Para provar a afirmação por indução matemática, primeiro vamos verificar o caso base, ou seja, quando n = 0. Nesse caso, temos:<br /><br />$\frac{d^{0}y}{dx^{0}} = \frac{1}{1-2x}$<br /><br />Podemos ver que a fórmula está verdadeira para n = 0.<br /><br />Agora, vamos assumir que a fórmula seja verdadeira para n = k, ou seja:<br /><br />$\frac{d^{k}y}{dx^{k}} = \frac{2^{k}k!}{(1-2x)^{k+1}}$<br /><br />Queremos provar que a fórmula também é verdadeira para n = k+1. Para isso, vamos calcular a derivada de ordem k+1 de y em relação a x:<br /><br />$\frac{d^{k+1}y}{dx^{k+1}} = \frac{d}{dx}\left(\frac{d^{k}y}{dx^{k}}\right)$<br /><br />Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:<br /><br />$\frac{d^{k+1}y}{dx^{k+1}} = \frac{d}{dx}\left(\frac{2^{k}k!}{(1-2x)^{k+1}}\right)$<br /><br />$\frac{d^{k+1}y}{dx^{k+1}} = \frac{2^{k}k! \cdot (-1)(k+1)(1-2x)^{-k-2}}{(1-2x)^{k+1}}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\frac{d^{k+1}y}{dx^{k+1}} = \frac{2^{k}k!(k+1)}{(1-2x)^{k+2}}$<br /><br />$\frac{d^{k+1}y}{dx^{k+1}} = \frac{2^{k+1}(k+1)!}{(1-2x)^{k+2}}$<br /><br />Portanto, a fórmula é verdadeira para n = k+1.<br /><br />Concluímos que a fórmula é verdadeira para todos os valores de n, de acordo com o princípio da indução matemática.