(x)/(x-1)+(2)/(x)=(1+x)/(x)

Para resolver a equação \(\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x} = \frac{1+x}{x}\), vamos primeiro simplificar ambos os lados da equação.<br /><br />Começamos simplificando o lado direito da equação:<br /><br />\[<br />\frac{1+x}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x} = \frac{1}{x} + 1<br />\]<br /><br />Então, a equação se torna:<br /><br />\[<br />\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x} = \frac{1}{x} + 1<br />\]<br /><br />Para combinar as frações no lado esquerdo, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre \(x-1\) e \(x\) é \(x(x-1)\). Multiplicamos cada termo pelo fator necessário para obter esse denominador comum:<br /><br />\[<br />\frac{x \cdot x}{(x-1) \cdot x} + \frac{2(x-1)}{x(x-1)} = \frac{1(x-1)}{x(x-1)} + \frac{x(x-1)}{x(x-1)}<br />\]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[<br />\frac{x^2}{x(x-1)} + \frac{2(x-1)}{x(x-1)} = \frac{x-1}{x(x-1)} + \frac{x(x-1)}{x(x-1)}<br />\]<br /><br />Agora, podemos combinar as frações:<br /><br />\[<br />\frac{x^2 + 2(x-1)}{x(x-1)} = \frac{x-1 + x(x-1)}{x(x-1)}<br />\]<br /><br />Simplificando os numeradores:<br /><br />\[<br />\frac{x^2 + 2x - 2}{x(x-1)} = \frac{x - 1 + x^2 - x}{x(x-1)}<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{x^2 + 2x - 2}{x(x-1)} = \frac{x^2 - 1}{x(x-1)}<br />\]<br /><br />Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:<br /><br />\[<br />x^2 + 2x - 2 = x^2 - 1<br />\]<br /><br />Subtraindo \(x^2\) de ambos os lados:<br /><br />\[<br />2x - 2 = -1<br />\]<br /><br />Adicionando 2 a ambos os lados:<br /><br />\[<br />2x = 1<br />\]<br /><br />Dividindo por 2:<br /><br />\[<br />x = \frac{1}{2}<br />\]<br /><br />Portanto, a solução da equação é \(x = \frac{1}{2}\).