5. Sejam overrightarrow (u)=(1,3,-2,1) e overrightarrow (v)=(2,0,-1,4) vetores do R^4 Determine os escalares C_(1) e C_(2) tais que: (a) c_(1)overrightarrow (u)+c_(2)overrightarrow (v)=(8,6,-7,14) (b) c_(1)overrightarrow (u)+c_(2)overrightarrow (v)=(-3,3,4,-7)

Para resolver essas equações, podemos usar o método da substituição ou o método da eliminação. Vamos usar o método da substituição.<br /><br />(a) Temos a equação $c_{1}\overrightarrow {u}+c_{2}\overrightarrow {v}=(8,6,-7,14)$.<br /><br />Substituindo os valores dos vetores $\overrightarrow {u}$ e $\overrightarrow {v}$, temos:<br /><br />$c_{1}(1,3,-2,1)+c_{2}(2,0,-1,4)=(8,6,-7,14)$.<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$(c_{1}+2c_{2}, 3c_{1}, -2c_{1}-c_{2}, c_{1}+4c_{2})=(8,6,-7,14)$.<br /><br />Comparando os coeficientes das variáveis, temos o seguinte sistema de equações:<br /><br />$c_{1}+2c_{2}=8$ (1)<br />$3c_{1}=6$ (2)<br />$-2c_{1}-c_{2}=-7$ (3)<br />$c_{1}+4c_{2}=14$ (4)<br /><br />Resolvendo o sistema de equações, encontramos:<br /><br />$c_{1}=2$ e $c_{2}=3$.<br /><br />Portanto, os escalares $C_{1}$ e $C_{2}$ que satisfazem a equação (a) são $C_{1}=2$ e $C_{2}=3$.<br /><br />(b) Temos a equação $c_{1}\overrightarrow {u}+c_{2}\overrightarrow {v}=(-3,3,4,-7)$.<br /><br />Substituindo os valores dos vetores $\overrightarrow {u}$ e $\overrightarrow {v}$, temos:<br /><br />$c_{1}(1,3,-2,1)+c_{2}(2,0,-1,4)=(-3,3,4,-7)$.<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$(c_{1}+2c_{2}, 3c_{1}, -2c_{1}-c_{2}, c_{1}+4c_{2})=(-3,3,4,-7)$.<br /><br />Comparando os coeficientes das variáveis, temos o seguinte sistema de equações:<br /><br />$c_{1}+2c_{2}=-3$ (1)<br />$3c_{1}=3$ (2)<br />$-2c_{1}-c_{2}=4$ (3)<br />$c_{1}+4c_{2}=-7$ (4)<br /><br />Resolvendo o sistema de equações, encontramos:<br /><br />$c_{1}=-1$ e $c_{2}=1$.<br /><br />Portanto, os escalares $C_{1}$ e $C_{2}$ que satisfazem a equação (b) são $C_{1}=-1$ e $C_{2}=1$.