sum _(k-1)^infty (-1)^k-1(x^2k)/((2k)!)

soma infinita dada é uma série de potência. A fórmula geral para a soma de uma série de potência é:<br /><br />$\sum_{k=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{n+1}$<br /><br />No caso da série dada, temos $(-1)^{k-1}$ como fator de alternância e $\frac{x^{2k}}{(2k)!}$ como fator de potência. Podemos reescrever a série dada como:<br /><br />$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{x^{2k}}{(2k)!}$<br /><br />Podemos observar que a série é uma expansão da função $\cos(x)$, pois a função $\cos(x)$ pode ser representada como uma série de potência de forma alternada:<br /><br />$\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}$<br /><br />Portanto, a soma da série dada é igual a $\cos(x)$.<br /><br />Resposta: $\cos(x)$