Questão 17) 00:31:02 TEMPO DECORRIDO (1) 2 3 (5) (c) 12 14 15 16 (17) 19 Cálculo Diferencial e Integral II A derivada de uma função e em um ponto representa a taxa de variação ão instantânea dessa função neste ponto. O cálculo da derivada de uma a função pode ser obtido algebricamente pela relação f(x)=lim _(Delta xarrow 0)(f(x+Delta x)-f(x))/(Delta x) onde f'(x) indica a derivada de uma função ão (de uma variável). Utilizando a relaçǎo f(x) expressa acima, é correto afirmar que a derivada da função f(x)=x^2+3x+1 igual a

Para calcular a derivada da função \( f(x) = x^2 + 3x + 1 \), utilizamos a definição da derivada:<br /><br />\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]<br /><br />Substituindo \( f(x) \) na fórmula, temos:<br /><br />\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^2 + + \Delta x) + 1 - (x^2 + 3x + 1)}{\Delta x} \]<br /><br />Simplificando a expressão dentro do limite:<br /><br />\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x + 1 - x^2 - 3x - 1}{\Delta x} \]<br /><br />\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x}{\Delta x} \]<br /><br />\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2x + \Delta x + 3)}{\Delta x} \]<br /><br />Cancelando \(\Delta x\) no numerador e no denominador:<br /><br />\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (2x + \Delta x + 3) \]<br /><br />Como \(\Delta x\) se aproxima de 0:<br /><br />\[ f'(x) = 2x + 3 \]<br /><br />Portanto, a derivada da função \( f(x) = x^2 + 3x + 1 \) é \( f'(x) = 2x + 3 \).