g) f(x, y)=(4 x y-3 y^3)^3+5 x^2 y

Para encontrar a derivada parcial de \( f(x, y) \) em relação a \( x \), podemos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos calcular a derivada parcial de \( f(x, y) \) em relação a \( x \):<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( (4xy - 3y^3)^3 + 5x^2y \right) \]<br /><br />Primeiro, vamos calcular a derivada de \( (4xy - 3y^3)^3 \) em relação a \( x \):<br /><br />\[ \frac{\partial}{\partial x} \left( (4xy - 3y^3)^3 \right) = 3(4xy - 3y^3)^2 \cdot \frac{\partial}{\partial x} (4xy - 3y^3) \]<br /><br />Agora, vamos calcular a derivada de \( 5x^2y \) em relação a \( x \):<br /><br />\[ \frac{\partial}{\partial x} (5x^2y) = 10xy \]<br /><br />Portanto, a derivada parcial de \( f(x, y) \) em relação a \( x \) é:<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 3(4xy - 3y^3)^2 \cdot \frac{\partial}{\partial x} (4xy - 3y^3) + 10xy \]<br /><br />Para encontrar a derivada parcial de \( f(x, y) \) em relação a \( y \), podemos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos calcular a derivada parcial de \( f(x, y) \) em relação a \( y \):<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( (4xy - 3y^3)^3 + 5x^2y \right) \]<br /><br />Primeiro, vamos calcular a derivada de \( (4xy - 3y^3)^3 \) em relação a \( y \):<br /><br />\[ \frac{\partial}{\partial y} \left( (4xy - 3y^3)^3 \right) = 3(4xy - 3y^3)^2 \cdot \frac{\partial}{\partial y} (4xy - 3y^3) \]<br /><br />Agora, vamos calcular a derivada de \( 5x^2y \) em relação a \( y \):<br /><br />\[ \frac{\partial}{\partial y} (5x^2y) = 5x^2 \]<br /><br />Portanto, a derivada parcial de \( f(x, y) \) em relação a \( y \) é:<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 3(4xy - 3y^3)^2 \cdot \frac{\partial}{\partial y} (4xy - 3y^3) + 5x^2 \]<br /><br />Essas são as derivadas parciais de \( f(x, y) \) em relação a \( x \) e \( y \).