8. Determine a medida da altura de um triângulo equilátero , sabendo que a medida de sua área 36sqrt (3)cm^2

Para determinar a medida da altura de um triângulo equilátero, podemos usar a fórmula da área do triângulo:<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} \]<br /><br />No caso de um triângulo equilátero, todos os lados têm a mesma medida. Vamos chamar essa medida de "lado". A base do triângulo é um dos lados, e a altura é a projeção perpendicular desse lado até o vértice oposto.<br /><br />Para um triângulo equilátero, a altura pode ser calculada usando a fórmula:<br /><br />\[ \text{Altura} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{lado} \]<br /><br />Sabendo que a área do triângulo é \(36\sqrt{3} \, \text{cm}^2\), podemos usar a fórmula da área para encontrar a altura:<br /><br />\[ 36\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times \text{lado} \times \text{altura} \]<br /><br />Substituindo a fórmula da altura:<br /><br />\[ 36\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times \text{lado} \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{lado}\right) \]<br /><br />Simplificando a expressão:<br /><br />\[ 36\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{lado}^2 \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 4 para isolar \(\text{lado}^2\):<br /><br />\[ 144\sqrt{3} = \sqrt{3} \times \text{lado}^2 \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por \(\sqrt{3}\):<br /><br />\[ 144 = \text{lado}^2 \]<br /><br />Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:<br /><br />\[ \text{lado} = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm} \]<br /><br />Agora que temos a medida do lado, podemos calcular a altura:<br /><br />\[ \text{Altura} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6\sqrt{3} \, \text{cm} \]<br /><br />Portanto, a medida da altura do triângulo equilátero é \(6\sqrt{3} \, \text{cm}\).