Uma das aplicações da integral é o cálculo de áreas. Uma representação geométrica da ir positivos, então o valor da integral de fé igual ao valor da área compreendida entre a funçã Calcule a área delimitada pelo gráfico da função y=x^2-x e pelo eixo x. a. 0 b. 1 C. (2)/(3) d. 1 (1)/(6) e pi

Para calcular a área delimitada pelo gráfico da função \( y = x^2 - x \) e pelo eixo x, precisamos encontrar a integral definida da função entre os pontos onde ela cruza o eixo x.<br /><br />Primeiro, encontramos os pontos de interseção com o eixo x, ou seja, os valores de \( x \) para os quais \( y = 0 \):<br /><br />\[ x^2 - x = 0 \]<br />\[ x(x - 1) = 0 \]<br /><br />Portanto, os pontos de interseção são \( x = 0 \) e \( x = 1 \).<br /><br />Agora, calculamos a integral definida da função \( y = x^2 - x \) entre esses dois pontos:<br /><br />\[ \int_{0}^{1} (x^2 - x) \, dx \]<br /><br />Para resolver essa integral, primeiro integramos a função:<br /><br />\[ \int (x^2 - x) \, dx = \int x^2 \, dx - \int x \, dx \]<br />\[ = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \]<br /><br />Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 1:<br /><br />\[ \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \]<br />\[ = \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} \right) \]<br />\[ = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) - (0 - 0) \]<br />\[ = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \]<br />\[ = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} \]<br />\[ = -\frac{1}{6} \]<br /><br />Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:<br /><br />\[ \left| -\frac{1}{6} \right| = \frac{1}{6} \]<br /><br />Portanto, a área delimitada pelo gráfico da função \( y = x^2 - x \) e pelo eixo x é \( \frac{1}{6} \).<br /><br />A resposta correta é:<br /><br />d. \( \frac{1}{6} \)