2. Determine os máximos e mínimos da função na curva dada f(x,y)=x^2+3y^2 , curva x^4+y^4=10

Para determinar os máximos e mínimos da função \( f(x, y) = x^2 + 3y^2 \) sujeita à restrição \( x^4 + y^4 = 10 \), podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.<br /><br />Primeiro, definimos a função Lagrangiana \( \mathcal{L}(x, y, \lambda) \) como:<br /><br />\[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + 3y^2 - \lambda (x^4 + y^4 - 10) \]<br /><br />Agora, calculamos as derivadas parciais de \( \mathcal{L} \) em relação a \( x \), \( y \) e \( \lambda \), e igualamos a zero:<br /><br />\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x - 4\lambda x^3 = 0 \]<br />\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 6y - 4\lambda y^3 = 0 \]<br />\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -x^4 - y^4 + 10 = 0 \]<br /><br />Resolvendo essas equações, encontramos os pontos críticos. Vamos considerar alguns casos específicos:<br /><br />1. Se \( x = 0 \) ou \( y = 0 \), a equação \( x^4 + y^4 = 10 \) não é satisfeita, então esses pontos não são relevantes.<br /><br />2. Se \( x = y \), então \( x^4 + y^4 = 2x^4 = 10 \), o que implica \( x^4 = 5 \). Substituindo \( x = \sqrt[4]{5} \) e \( y = \sqrt[4]{5} \) na função \( f \), obtemos:<br /><br />\[ f(\sqrt[4]{5}, \sqrt[4]{5}) = (\sqrt[4]{5})^2 + 3(\sqrt[4]{5})^2 = 4\sqrt[4]{5} \]<br /><br />3. Se \( x = -y \), então \( x^4 + y^4 = 2y^4 = 10 \), o que implica \( y^4 = 5 \). Substituindo \( y = \sqrt[4]{5} \) e \( x = -\sqrt[4]{5} \) na função \( f \), obtemos:<br /><br />\[ f(-\sqrt[4]{5}, \sqrt[4]{5}) = (-\sqrt[4]{5})^2 + 3(\sqrt[4]{5})^2 = 4\sqrt[4]{5} \]<br /><br />Portanto, os máximos e mínimos da função \( f(x, y) = x^2 + 3y^2 \) na curva \( x^4 + y^4 = 10 \) são ambos \( 4\sqrt[4]{5} \).