Exercicio 8. Considere a função f:Rarrow R^ast definida por f(x)=5^x . Mostre que f é um homomorfismo entre os grupos (R,+)e(R^ast ,.)

Para mostrar que a função \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{\ast} \) definida por \( f(x) = 5^x \) é um homomorfismo entre os grupos \((\mathbb{R}, +)\) e \((\mathbb{R}^{\ast}, \cdot)\), precisamos verificar duas propriedades: preservação da estrutura e preservação da operação.<br /><br />1. **Preservação da Estrutura:**<br /> - A função \( f \) deve ser bijetora (injetora e sobrejetora).<br /> - Injetora: Para qualquer \( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \) com \( f(x_1) = f(x_2) \), devemos ter \( 5^{x_1} = 5^{x_2} \). Como a função exponencial é injetora, isso implica \( x_1 = x_2 \).<br /> - Sobrejetora: Para qualquer \( y \in \mathbb{R}^{\ast} \), devemos encontrar \( x \in \mathbb{R} \) tal que \( f(x) = y \). Como \( \mathbb{R}^{\ast} \) é o conjunto dos números reais não nulos, e a função exponencial cobre todos os valores positivos, há \( x \) tal que \( 5^x = y \).<br /><br />2. **Preservação da Operação:**<br /> - Devemos verificar que \( f(x_1 + x_2) = f(x_1) \cdot f(x_2) \) para todos \( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \).<br /> - Considere \( f(x_1) = 5^{x_1} \) e \( f(x_2) = 5^{x_2} \).<br /> - Então, \( f(x_1 + x_2) = 5^{x_1 + x_2} \).<br /> - E \( f(x_1) \cdot f(x_2) = 5^{x_1} \cdot 5^{x_2} = 5^{x_1 + x_2} \).<br /> - Portanto, \( f(x_1 + x_2) = f(x_1) \cdot f(x_2) \).<br /><br />Como \( f \) é bijetora e preserva a operação de adição em multiplicação, concluímos que \( f \) é um homomorfismo entre os grupos \((\mathbb{R}, +)\) e \((\mathbb{R}^{\ast}, \cdot)\).