9 e 10) 0 esboço do gráfico da função y=-x^2+2x e determine o domínio e imagem.

Para esboçar o gráfico da função \( y = -x^2 + 2x \), podemos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Identifique o vértice da parábola**: A função é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de \( x^2 \) é negativo). Para encontrar o vértice, usamos a fórmula \( x = -\frac{b}{2a} \), onde \( a = -1 \) e \( b = 2 \).<br /><br /> \[<br /> x = -\frac{2}{2(-1)} = 1<br /> \]<br /><br /> Substituindo \( x = 1 \) na função para encontrar \( y \):<br /><br /> \[<br /> y = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1<br /> \]<br /><br /> Portanto, o vértice da parábola é \( (1, 1) \).<br /><br />2. **Determine os pontos de intersecção com o eixo \( x \)**: Para encontrar os pontos de intersecção com o eixo \( x \), resolvemos a equação \( y = 0 \):<br /><br /> \[<br /> -x^2 + 2x = 0<br /> \]<br /><br /> Fatoramos a equação:<br /><br /> \[<br /> -x(x - 2) = 0<br /> \]<br /><br /> Portanto, \( x = 0 \) ou \( x = 2 \). Os pontos de intersecção são \( (0, 0) \) e \( (2, 0) \).<br /><br />3. **Desenhe o gráfico**: Usando os pontos de intersecção e o vértice, podemos desenhar a parábola.<br /><br />Para determinar o domínio e a imagem da função:<br /><br />- **Domínio**: A função \( y = -x^2 + 2x \) é definida para todos os valores de \( x \) reais. Portanto, o domínio é \( \mathbb{R} \) (todos os números reais).<br /><br />- **Imagem**: Para encontrar a imagem, observamos que a parábola atinge seu valor máximo no vértice \( (1, 1) \) e se abre para baixo. Portanto, a imagem é \( y \leq 1 \).<br /><br />Resumindo:<br /><br />- **Domínio**: \( \mathbb{R} \)<br />- **Imagem**: \( y \leq 1 \)<br /><br />Este é o esboço do gráfico e a determinação do domínio e imagem da função \( y = -x^2 + 2x \).