Determine a familia de funçōes representada por int e^2xcos(2x)dx A e^2x(cos(2x)-sen(2x))+k B (1)/(4)e^2x(cos(2x)+sen(2x))+k k real C (1)/(4)e^2x(sen(2x)-cos(2x))+k kreal D e^2x(2cos(2x)+3sen(2x))+k k real E (1)/(2)e^2x(-cos(2x)-sen(2x))+k k real o

Para determinar a família de funções representada pela integral $\int e^{2x}cos(2x)dx$, podemos utilizar o método de integração por partes.<br /><br />Seja $u = e^{2x}$ e $dv = cos(2x)dx$. Então, $du = 2e^{2x}dx$ e $v = \frac{1}{2}sin(2x)$.<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />$\int e^{2x}cos(2x)dx = \frac{1}{2}e^{2x}sin(2x) - \int \frac{1}{2}e^{2x}sin(2x)dx$<br /><br />Para resolver a segunda integral, podemos utilizar novamente o método de integração por partes. Seja $u = e^{2x}$ e $dv = sin(2x)dx$. Então, $du = 2e^{2x}dx$ e $v = -\frac{1}{2}cos(2x)$.<br /><br />Aplicando novamente a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />$\int \frac{1}{2}e^{2x}sin(2x)dx = -\frac{1}{4}e^{2x}cos(2x) + \int \frac{1}{4}e^{2x}cos(2x)dx$<br /><br />Substituindo na primeira integral, temos:<br /><br />$\int e^{2x}cos(2x)dx = \frac{1}{2}e^{2x}sin(2x) + \frac{1}{4}e^{2x}cos(2x) - \int \frac{1}{4}e^{2x}cos(2x)dx$<br /><br />Para resolver a terceira integral, podemos utilizar novamente o método de integração por partes. Seja $u = e^{2x}$ e $dv = cos(2x)dx$. Então, $du = 2e^{2x}dx$ e $v = \frac{1}{2}sin(2x)$.<br /><br />Aplicando novamente a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />$\int \frac{1}{4}e^{2x}cos(2x)dx = \frac{1}{8}e^{2x}sin(2x) + \int \frac{1}{8}e^{2x}sin(2x)dx$<br /><br />Substituindo na segunda integral, temos:<br /><br />$\int e^{2x}cos(2x)dx = \frac{1}{2}e^{2x}sin(2x) + \frac{1}{4}e^{2x}cos(2x) - \frac{1}{8}e^{2x}sin(2x) - \int \frac{1}{8}e^{2x}sin(2x)dx$<br /><br />Para resolver a quarta integral, podemos utilizar novamente o método de integração por partes. Seja $u = e^{2x}$ e $dv = sin(2x)dx$. Então, $du = 2e^{2x}dx$ e $v = -\frac{1}{2}cos(2x)$.<br /><br />Aplicando novamente a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />$\int \frac{1}{8}e^{2x}sin(2x)dx = -\frac{1}{16}e^{2x}cos(2x) + \int \frac{1}{16}e^{2x}cos(2x)dx$<br /><br />Substituindo na terceira integral, temos:<br /><br />$\int e^{2x}cos(2x)dx = \frac{1}{2}e^{2x}sin(2x) + \frac{1}{4}e^{2x}cos(2x) - \frac{1}{8}e^{2x}sin(2x) - \frac{1}{16}e^{2x}cos(2x) + \int \frac{1}{16}e^{2x}cos(2x)dx$<br /><br />Para resolver a quinta integral, podemos utilizar novamente o método de integração por partes. Seja $u = e^{2x}$ e $dv = cos(2x)dx$. Então, $du = 2e^{2x}dx$ e $v = \frac{1}{2}sin(2x)$.<br /><br />Aplicando novamente a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />$\int \frac{1}{16}e^{2