23 f(x)=(5-x^2)^1/2(x^3+1)^1/4

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = (5 - x^2)^{1/2}(x^3 + 1)^{1/4} \), podemos usar a regra do produto e a regra da cadeia.<br /><br />Primeiro, vamos derivar a função \( f(x) \) usando a regra do produto:<br /><br />\[ f'(x) = \frac{d}{dx}[(5 - x^2)^{1/2}] \cdot (x^3 + 1)^{1/4} + (5 - x^2)^{1/2} \cdot \frac{d}{dx}[(x^3 + 1)^{1/4}] \]<br /><br />Para derivar \( (5 - x^2)^{1/2} \), podemos usar a regra da cadeia:<br /><br />\[ \frac{d}{dx}[(5 - x^2)^{1/2}] = \frac{1}{2}(5 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = -\frac{x}{(5 - x^2)^{1/2}} \]<br /><br />Para derivar \( (x^3 + 1)^{1/4} \), também podemos usar a regra da cadeia:<br /><br />\[ \frac{d}{dx}[(x^3 + 1)^{1/4}] = \frac{1}{4}(x^3 + 1)^{-3/4} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{4(x^3 + 1)^{3/4}} \]<br /><br />Agora, substituindo essas derivadas na fórmula da regra do produto, temos:<br /><br />\[ f'(x) = -\frac{x}{(5 - x^2)^{1/2}} \cdot (x^3 + 1)^{1/4} + (5 - x^2)^{1/2} \cdot \frac{3x^2}{4(x^3 + 1)^{3/4}} \]<br /><br />Simplificando essa expressão, temos:<br /><br />\[ f'(x) = -\frac{x(x^3 + 1)^{1/4}}{(5 - x^2)^{1/2}} + \frac{3x^2(5 - x^2)^{1/2}}{4(x^3 + 1)^{3/4}} \]<br /><br />Portanto, a derivada da função \( f(x) = (5 - x^2)^{1/2}(x^3 + 1)^{1/4} \) é:<br /><br />\[ f'(x) = -\frac{x(x^3 + 1)^{1/4}}{(5 - x^2)^{1/2}} + \frac{3x^2(5 - x^2)^{1/2}}{4(x^3 + 1)^{3/4}} \]