2.Seja a transformação linear L: R^3arrow R^2 ,com L(x,y,z)=(x+y,2x+3z) Determine: a) Seu núcleo. b) Lé injetiva? Por quê?

Para determinar o núcleo da transformação linear L, precisamos encontrar todos os vetores (x, y, z) em R^3 que são mapeados para o vetor zero (0,0) em R^2.<br /><br />Para isso, igualamos a transformação L(x, y, z) a (0, 0) e resolvemos o sistema de equações:<br /><br />(x + y, 2x + 3z) = (0, 0)<br /><br />Podemos simplificar esse sistema de equações:<br /><br />x + y = 0<br />2x + 3z = 0<br /><br />Resolvendo esse sistema, encontramos que o vetor nulo é (0, 0, 0). Portanto, o núcleo da transformação L é {(0, 0, 0)}.<br /><br />Para determinar se a transformação L é injetiva, precisamos verificar se cada vetor em R^2 é imagem de no máximo um vetor em R^3. Se houver um vetor em R^2 que seja imagem de mais de um vetor em R^3, então a transformação L não é injetiva.<br /><br />Para isso, consideremos um vetor (a, b) em R^2. Precisamos verificar se existe um vetor (x, y, z) em R^3 tal que L(x, y, z) = (a, b).<br /><br />(x + y, 2x + 3z) = (a, b)<br /><br />Podemos igualar as coordenadas correspondentes:<br /><br />x + y = a<br />2x + 3z = b<br /><br />Essas equações têm solução para todos os valores de a e b, o que significa que cada vetor em R^2 é imagem de pelo menos um vetor em R^3. Portanto, a transformação L não é injetiva.