Qual o valor de (1+i)^2024 onde i=sqrt (-1)

Para encontrar o valor de $(1+i)^{2024}$, podemos usar a forma trigonométrica dos números complexos.<br /><br />Primeiro, vamos escrever $1+i$ na forma trigonométrica. Sabemos que $1+i$ pode ser escrito como $r(\cos \theta + i\sin \theta)$, onde $r$ é o módulo e $\theta$ é o argumento.<br /><br />Calculando o módulo de $1+i$, temos:<br />$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$<br /><br />Calculando o argumento de $1+i$, temos:<br />$\theta = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}$<br /><br />Portanto, $1+i$ pode ser escrito como $\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})$.<br /><br />Agora, podemos usar a fórmula de De Moivre para calcular $(1+i)^{2024}$:<br />$(1+i)^{2024} = (\sqrt{2})^{2024}(\cos(2024 \cdot \frac{\pi}{4}) + i\sin(2024 \cdot \frac{\pi}{4}))$<br /><br />Simplificando, temos:<br />$(1+i)^{2024} = 2^{1012}(\cos(1010\pi) + i\sin(1010\pi))$<br /><br />Sabemos que $\cos(1010\pi) = 1$ e $\sin(1010\pi) = 0$, então:<br />$(1+i)^{2024} = 2^{1012}(1 + 0i) = 2^{1012}$<br /><br />Portanto, o valor de $(1+i)^{2024}$ é $2^{1012}$.