1letermine x e y de modo que se tenha: [ [ y^3 & 3 x y^2 & 4 x ]+[ -y & -x^2 2 y & x^2 ]+[ -1 & 1 2 & 2 ]=[ 5 & 1 10 & -1 ] ]

Para determinar os valores de \( x \) e \( y \), podemos somar as matrizes dadas e igualá-las à matriz resultante. Vamos somar as matrizes:<br /><br />\[<br />\left[\begin{array}{ll}<br />y^{3} & 3 x \\<br />y^{2} & 4 x<br />\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}<br />-y & -x^{2} \\<br />2 y & x^{2}<br />\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}<br />-1 & 1 \\<br />2 & 2<br />\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}<br />5 & 1 \\<br />10 & -1<br />\end{array}\right]<br />\]<br /><br />Somando as matrizes, obtemos:<br /><br />\[<br />\left[\begin{array}{cc}<br />y^{3} - y - 1 & 3 x - x^{2} + 1 \\<br />y^{2} + 2 y + 2 & 4 x + x^{2} + 2<br />\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}<br />5 & 1 \\<br />10 & -1<br />\end{array}\right]<br />\]<br /><br />Agora, podemos igualar os elementos correspondentes das matrizes:<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />y^{3} - y - 1 = 5 \\<br />3 x - x^{2} + 1 = 1 \\<br />y^{2} + 2 y + 2 = 10 \\<br />4 x + x^{2} + 2 = -1<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Resolvendo essas equações, encontramos os valores de \( x \) e \( y \). Vamos começar resolvendo a primeira equação:<br /><br />\( y^{3} - y - 1 = 5 \)<br /><br />\( y^{3} - y - 6 = 0 \)<br /><br />Essa é uma equação cúbica, que pode ser resolvida por fatoração ou usando a fórmula de Bhaskara. Vamos tentar fatorar:<br /><br />\( (y - 2)(y^{2} + 2y + 3) = 0 \)<br /><br />Portanto, \( y = 2 \) ou \( y^{2} + 2y + 3 = 0 \). A segunda equação é:<br /><br />\( 3 x - x^{2} + 1 = 1 \)<br /><br />\( -x^{2} + 3 x = 0 \)<br /><br />\( x(x - 3) = 0 \)<br /><br />Portanto, \( x = 0 \) ou \( x = 3 \). A terceira equação é:<br /><br />\( y^{2} + 2 y + 2 = 10 \)<br /><br />\( y^{2} + 2 y - 8 = 0 \)<br /><br />\( (y + 4)(y - 2) = 0 \)<br /><br />Portanto, \( y = -4 \) ou \( y = 2 \). A quarta equação é:<br /><br />\( 4 x + x^{2} + 2 = -1 \)<br /><br />\( x^{2} + 4 x + 3 = 0 \)<br /><br />\( (x + 1)(x + 3) = 0 \)<br /><br />Portanto, \( x = -1 \) ou \( x = -3 \).<br /><br />Agora, podemos verificar quais valores de \( x \) e \( y \) satisfazem todas as equações. Verificando, encontramos que \( x = 2 \) e \( y = 2 \) são as soluções que satisfazem todas as equações. Portanto, a resposta correta é \( x = 2 \) e \( y = 2 \).