1. Determine a derivada direcional de f(x,y)=e^xsiny no ponto (0,pi /3) na direção do vetor v=(-6,8) 2. Determine a direção em que a taxa de variação de f(x,y)=sin(xy) no ponto (1,0) máxima e encontre o valor da taxa de variação máxima de f no ponto (1,0) 3. Encontre a equação do plano tangente à superficie xy+yz+zx=5 no ponto (1,2,1) 4. Encontre os pontos criticos da função f(x,y)=x^3-12xy+8y^3 e classifique-os (ponto de mínimo local, ponto de máximo local ou ponto de sela). 5. Encontre o valor máximo e valor mínimo da função f(x,y)=y^2-x^2 sujeita à restrição (1)/(4)x^2+y^2=1

1. Para determinar a derivada direcional de $f(x,y)=e^{x}siny$ no ponto $(0,\pi /3)$ na direção do vetor $v=(-6,8)$, podemos usar a fórmula da derivada direcional:<br /><br />$\nabla f(0,\pi/3) \cdot \frac{v}{||v||} = \left(\frac{\partial f}{\partial x}(0,\pi/3), \frac{\partial f}{\partial y}(0,\pi/3)\right) \cdot \frac{v}{||v||} = \left(e^0 \cos(\pi/3), e^0 \sin(\pi/3)\right) \cdot \frac{(-6,8)}{||(-6,8)||} = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{6}{10}, \frac{8}{10}\right) = -\frac{3}{5} + \frac{4\sqrt{3}}{10} = -\frac{3}{5} + \frac{2\sqrt{3}}{5} = -\frac{3-2\sqrt{3}}{5}$<br /><br />Portanto, a derivada direcional de $f(x,y)=e^{x}siny$ no ponto $(0,\pi /3)$ na direção do vetor $v=(-6,8)$ é $-\frac{3-2\sqrt{3}}{5}$.<br /><br />2. Para determinar a direção em que a taxa de variação de $f(x,y)=sin(xy)$ no ponto $(1,0)$ é máxima, podemos calcular as derivadas parciais de $f$ em relação a $x$ e $y$ e encontrar o vetor gradiente $\nabla f$. Em seguida, podemos normalizar o vetor gradiente para obter a direção em que a taxa de variação é máxima.<br /><br />$\nabla f(1,0) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}(1,0), \frac{\partial f}{\partial y}(1,0)\right) = (y \cos(xy), x \cos(xy)) = (0, \cos(0)) = (0, 1)$<br /><br />Portanto, a direção em que a taxa de variação de $f(x,y)=sin(xy)$ no ponto $(1,0)$ é máxima é a direção $(0, 1)$.<br /><br />Para encontrar o valor da taxa de variação máxima de $f$ no ponto $(1,0)$, podemos calcular o valor da derivada direcional em $(1,0)$ na direção $(0, 1)$:<br /><br />$\nabla f(1,0) \cdot \frac{(0, 1|| (0, 1) ||} = (0, 1) \cdot (0, 1) = 1$<br /><br />Portanto, o valor da taxa de variação máxima de $f$ no ponto $(1,0)$ é $1$.<br /><br />3. Para encontraração do plano tangente à superfície $xy+yz+zx=5$ no ponto $(1,2,1)$, podemos calcular o vetor gradiente $\nabla F$, onde $F(x,y,z)=xy+yz+zx-5$.<br /><br />$\nabla F = (y+z, x+z, x+y) = (2+1, 1+1, 1+2) = (3, 2, 3)$<br /><br />Portanto, a equação do plano tangente à superfície $xy+yz+zx=5$ no ponto $(1,2,1)$ é $3(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0$, ou seja, $3x+2y+3z-6=0$.<br /><br />4. Para encontrar os pontos críticos da função $f(x,y)=x^{3}-12xy+8y^{3}$, podemos calcular as derivadas parciais de $f$ em relação a $x$ e $y$ e igualá-las a zero.<br /><br />$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 12y$<br />$\frac{\partial f}{\partial y} = -12x + 24y^2$<br /><br />Igualando as derivadas parciais a zero, temos:<br /><br />$3x^2 - 12y = 0$<br />$-12x + 24y^2 = 0$<br /><br />Resolvendo essas equações, encontramos os pontos críticos: $(0,0)$, $(2\sqrt{3}, 1)$