Exercice 5 Soit nin N^ast . On pose : S_(n)=sum _(k=1)^n(1)/(sqrt (k)) et u_(n)=(S_(n))/(sqrt (n)) et v_(n)=S_(n)-2sqrt (n) 1) Montrer que : (nabla nin N^ast ):S_(n)leqslant sqrt (n)+sqrt (n-1) 2) Montrer que : (forall nin N^ast ):2;sqrt (n+1)-2leqslant S_(n) 3) En déduire que (u_(n))_(ngeqslant 1) et (v_(n))_(n)geqslant 1 sont convergentes.

1) Pour montrer que $(\forall n\in N^{\ast }):S_{n}\leqslant \sqrt {n}+\sqrt {n-1}$, nous allons utiliser une démonstration par récurrence.<br /><br />Initialisation :<br />Pour $n=1$, $S_{1}=\frac{1}{\sqrt{1}}=1$ et $\sqrt{1}+\sqrt{0}=1$, donc l'inégalité est vérifiée.<br /><br />Hérédité :<br />Supposons que pour un certain $n\in N^{\ast}$, l'inégalité soit vérifiée, c'est-à-dire que $S_{n}\leqslant \sqrt{n}+\sqrt{n-1}$.<br /><br />Nous devons montrer que $S_{n+1}\leqslant \sqrt{n+1}+\sqrt{n}$.<br /><br />$S_{n+1}=S_{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.<br /><br />D'après l'hypothèse de récurrence, $S_{n}\leqslant \sqrt{n}+\sqrt{n-1}$.<br /><br />Donc, $S_{n+1}\leqslant (\sqrt{n}+\sqrt{n-1})+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.<br /><br />En utilisant l'inégalité triangulaire inversée, $\sqrt{n+1}\leqslant \sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$, nous avons :<br /><br />$S_{n+1}\leqslant \sqrt{n}+\sqrt{n-1}+\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.<br /><br />Simplifiant, $S_{n+1}\leqslant \sqrt{n+1}+\sqrt{n}$.<br /><br />Ainsi, par récurrence, nous avons montré que $(\forall n\in N^{\ast }):S_{n}\leqslant \sqrt{n}+\sqrt{n-1}$.<br /><br />2) Pour montrer que $(\forall n\in N^{\ast }):2\sqrt{n+1}-2\leqslant S_{n}$, nous allons utiliser une démonstration par récurrence.<br /><br />Initialisation :<br />Pour $n=1$, $S_{1}=\frac{1}{\sqrt{1}}=1$ et $2\sqrt{1+1}-2=2$, donc l'inégalité est vérifiée.<br /><br />Hérédité :<br />Supposons que pour un certain $n\in N^{\ast}$, l'inégalité soit vérifiée, c'est-à-dire que $S_{n}\leqslant 2\sqrt{n+1}-2$.<br /><br />Nous devons montrer que $S_{n+1}\leqslant 2\sqrt{n+2}-2$.<br /><br />$S_{n+1}=S_{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.<br /><br />Dès l'hypothèse de récurrence, $S_{n}\leqslant 2\sqrt{n+1}-2$.<br /><br />Donc, $S_{n+1}\leqslant (2\sqrt{n+1}-2)+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.<br /><br />En utilisant l'inégalité triangulaire inversée, $\sqrt{n+1}\leqslant \sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$, nous avons :<br /><br />$S_{n+1}\leqslant 2\sqrt{n+1}-2+\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.<br /><br />Simplifiant, $S_{n+1}\leqslant 2\sqrt{n+2}-2$.<br /><br />Ainsi, par récurrence, nous avons montré que $(\forall n\in N^{\ast }):S_{n}\leqslant 2\sqrt{n+1}-2$.<br /><br />3) Pour déduire que $(u_{n})_{n\geqslant 1}$ et $(v_{n})_{n}\geqslant 1$ sont convergentes, nous allons utiliser les résultats précédents.<br /><br />Nous avons montré que $(\forall n\in N^{\ast }):S_{n}\leqslant \sqrt{n}+\sqrt{n-1}$ et $(\forall n\in N^{\ast }):S_{n}\leqslant 2\sqrt{n+1}-2$.<br /><br />Cela signifie que les suites $(S_{n})_{n\geqslant 1}$ sont majorées par des suites convergentes, donc elles sont également convergent