6. Determine o volume de uma pirâmide regular quadrangular , sabendo que o apótema da base mede 6 cm e 0 apotema da piramide mede 6sqrt (2) cm.

Para determinar o volume de uma pirâmide regular quadrangular, podemos usar a fórmula:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Área da base} \times \text{Altura} \]<br /><br />Onde:<br />- \( \text{Área da base} \) é a área da base da pirâmide.<br />- \( \text{Altura} \) é a altura da pirâmide.<br /><br />No caso da pirâmide regular quadrangular, a base é um quadrado. Portanto, podemos calcular a área da base multiplicando o comprimento de um dos lados pelo comprimento de outro lado.<br /><br />Sabendo que o apótema da base mede 6 cm, podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento de um dos lados da base. O apótema é a distância do centro da base até um dos vértices da pirâmide. Portanto, podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento de um dos lados da base.<br /><br />\[ \text{Lado} = \sqrt{\text{Apótema}^2 - \left(\frac{\text{Apótema}}{2}\right)^2} \]<br /><br />Substituindo os valores conhecidos:<br /><br />\[ \text{Lado} = \sqrt{6^2 - \left(\frac{6}{2}\right)^2} \]<br />\[ \text{Lado} = \sqrt{36 - 9} \]<br />\[ \text{Lado} = \sqrt{27} \]<br />\[ \text{Lado} = 3\sqrt{3} \]<br /><br />Agora, podemos calcular a área da base:<br /><br />\[ \text{Área da base} = \text{Lado}^2 \]<br />\[ \text{Área da base} = (3\sqrt{3})^2 \]<br />\[ \text{Área da base} = 27 \]<br /><br />Para calcular a altura da pirâmide, podemos usar o apótema da pirâmide, que mede \(6\sqrt{2}\) cm. O apótema da pirâmide é a distância do centro da base até um dos vértices da pirâmide. Portanto, podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular a altura da pirâmide.<br /><br />\[ \text{Altura} = \sqrt{\text{Apótema da pirâmide}^2 - \left(\frac{\text{Apótema da pirâmide}}{2}\right)^2} \]<br /><br />Substituindo os valores conhecidos:<br /><br />\[ \text{Altura} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 - \left(\frac{6\sqrt{2}}{2}\right)^2} \]<br />\[ \text{Altura} = \sqrt{72 - 9} \]<br />\[ \text{Altura} = \sqrt{63} \]<br />\[ \text{Altura} = 3\sqrt{7} \]<br /><br />Agora, podemos calcular o volume da pirâmide:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Área da base} \times \text{Altura} \]<br />\[ V = \frac{1}{3} \times 27 \times 3\sqrt{7} \]<br />\[ V = 27\sqrt{7} \]<br /><br />Portanto, o volume da pirâmide regular quadrangular é \(27\sqrt{7}\) cm³.