A derivada do quociente de duas funçoes nǎo e o quociente de suas derivadas. Também temos a regra da soma e da potência que pode ser aplicada para obter a derivada de uma função E possivel encontrar a derivada de y=((x-1)(x^2-2x))/(x^4) aplicando as regras. Considerando o problema acima calcule y' eassinale a all alternativa que corresponde ao valor obtido 8. -x^2+x^3-6x^4 b -(1)/(x^2)+(6)/(x^3) c. -(6)/(x^2)+(6)/(x^3)-x^4 c. x-1 -(1)/(x^2)+(6)/(x^3)-(6)/(x^4)

Para calcular a derivada da função \( y = \frac{(x-1)(x^2-2x)}{x^4} \), podemos aplicar a regra do quociente e as regras da soma e da potência.<br /><br />Primeiro, vamos calcular a derivada do numerador e do denominador separadamente.<br /><br />Derivando o numerador em relação a \( x \), aplicamos a regra do produto:<br /><br />\[ \frac{d}{dx}[(x-1)(x^2-2x)] = (x-1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2-2x) + (x^2-2x) \cdot \frac{d}{dx}(x-1) \]<br /><br />\[ = (x-1)(2x-2) + (x^2-2x)(1) \]<br /><br />\[ = 2x^2 - 2x - x^2 + 2x \]<br /><br />\[ = x^2 - 2x \]<br /><br />Derivando o denominador em relação a \( x \), aplicamos a regra da potência:<br /><br />\[ \frac{d}{dx}[x^4] = 4x^3 \]<br /><br />Agora, podemos calcular a derivada da função \( y \) aplicando a regra do quociente:<br /><br />\[ y' = \frac{(x^2 - 2x) \cdot 4x^3 - (x-1)(x^2-2x) \cdot 4x^3}{(x^4)^2} \]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\[ y' = \frac{4x^5 - 8x^4 - 4x^4 + 8x^3}{x^8} \]<br /><br />\[ y' = \frac{4x^5 - 12x^4 + 8x^3}{x^8} \]<br /><br />\[ y' = \frac{4x^3 - 12x^2 + 8x}{x^5} \]<br /><br />\[ y' = \frac{4x^3}{x^5} - \frac{12x^2}{x^5} + \frac{8x}{x^5} \]<br /><br />\[ y' = \frac{4}{x^2} - \frac{12}{x^3} + \frac{8}{x^4} \]<br /><br />Portanto, a derivada da função \( y \) é \( y' = \frac{4}{x^2} - \frac{12}{x^3} + \frac{8}{x^4} \).<br /><br />A alternativa correta é a letra d: \( -\frac{1}{x^{2}}+\frac{6}{x^{3}}-\frac{6}{x^{4}} \).