1. Determine o quinto termo no desenvolvim ento de (x-y)^8 2. Qual é o coeficiente de x^5 no desenvolvim ento de (x+2)^7 3. Calcule o 6^circ termo no desenvolvim ento de (a+3b)^9 4. Calcule o 11^circ termo no desenvolvimento de (x-1)^20

1. Para determinar o quinto termo no desenvolvimento de $(x-y)^{8}$, podemos usar a fórmula do termo geral de um binômio de Newton. O termo geral é dado por:<br /><br />$T_{r+1} = \binom{n}{r} x^{n-r} (-y)^r$<br /><br />Onde $n$ é o expoente do binômio e $r$ é a posição do termo que queremos calcular.<br /><br />No caso em questão, temos $n = 8$ e queremos calcular o quinto termo, ou seja, $r = 4$. Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />$T_{5} = \binom{8}{4} x^{8-4} (-y)^4 = 70 x^4 y^4$<br /><br />Portanto, o quinto termo no desenvolvimento de $(x-y)^{8}$ é $70 x^4 y^4$.<br /><br />2. Para determinar o coeficiente de $x^{5}$ no desenvolvimento de $(x+2)^{7}$, podemos usar novamente a fórmula do termo geral de um binômio de Newton. Nesse caso, temos $n = 7$ e queremos calcular o coeficiente de $x^5$, ou seja, $r = 5$. Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />$T_{r+1} = \binom{n}{r} x^{n-r} 2^r$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$T_{6} = \binom{7}{5} x^{7-5} 2^5 = 21 x^2 32 = 672 x^2$<br /><br />Portanto, o coeficiente de $x^{5}$ no desenvolvimento de $(x+2)^{7}$ é 672.<br /><br />3. Para calcular o sexto termo no desenvolvimento de $(a+3b)^{9}$, podemos usar novamente a fórmula do termo geral de um binômio de Newton. Nesse caso, temos $n = 9$ e queremos calcular o sexto termo, ou seja, $r = 5$. Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />$T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} (3b)^r$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$T_{6} = \binom{9}{5} a^{9-5} (3b)^5 = 126 a^4 243b^5 = 30822 a^4 b^5$<br /><br />Portanto, o sexto termo no desenvolvimento de $(a+3b)^{9}$ é $30822 a^4 b^5$.<br /><br />4. Para calcular o décimo primeiro termo no desenvolvimento de $(x-1)^{20}$, podemos usar novamente a fórmula do termo geral de um binômio de Newton. Nesse caso, temos $n = 20$ e queremos calcular o décimo primeiro termo, ou seja, $r = 10$. Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />$T_{r+1} = \binom{n}{r} x^{n-r} (-1)^r$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$T_{11} = \binom{20}{10} x^{20-10} (-1)^{10} = 184756 x^{10}$<br /><br />Portanto, o décimo primeiro termo no desenvolvimento de $(x-1)^{20}$ é $184756 x^{10}$.