1) (Cefet-MG) Sendo o número n=684^2-683^2 o valor de n é: a) 1366 b) 1367 c) 684 d) 683 2) (Insper-SP modificada) Determine o valor da expressão: (2009^2-4)/(2009+2) 3) A fração é (4x^2-1)/(4x^2)+4x+1 equivalente a: a) (2x-1)/(2x+1) b) (2x+1)/(2x-1) c) (-1)/(4x) d) (-1)/(4x+1) 4) -Efetue as operações indicadas no numerador e no denominador de cada uma das frações algébricas e, em seguida, simplifique a fração: (x^2+(y+x)(y-x)+xy)/(2y+2x) b) (ax-ay)/(x(x-y)-y(x-y))

1) A resposta correta é a opção b) 1367. Para calcular o valor de n, podemos usar a fórmula de diferença de quadrados: $n = a^2 - b^2 = 684^2 - 683^2 = 1367$.<br /><br />2) Para determinar o valor da expressão $\frac{2009^2 - 4}{2009 + 2}$, podemos simplificar o numerador e o denominador. O numerador é uma diferença de quadrados: $2009^2 - 4 = (2009 + 2)(2009 - 2)$. Portanto, a expressão se simplifica para $\frac{(2009 + 2)(2009 - 2)}{2009 + 2} = 2009 - 2 = 2007$.<br /><br />3) A fração $\frac{4x^2 - 1}{4x^2 + 4x + 1}$ é equivalente à opção a) $\frac{2x - 1}{2x + 1}$. Podemos simplificar a fração fatorando o numerador e o denominador. O numerador é uma diferença de quadrados: $4x^2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1)$. O denominador é um trinômio quadrado perfeito: $4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$. Portanto, a fração se simplifica para $\frac{(2x + 1)(2x - 1)}{(2x + 1)^2} = \frac{2x - 1}{2x + 1}$.<br /><br />4) Para efetuar as operações indicadas no numerador e no denominador de cada uma das frações algébricas e simplificar a fração, podemos seguir os seguintes passos:<br /><br />a) No numerador, temos $x^2 + (y + x)(y - x) + xy$. Podemos simplificar essa expressão utilizando as propriedades dos produtos notáveis: $x^2 + (y + x)(y - x) + xy = x^2 + (y^2 - x^2) + xy = y^2 + xy$. No denominador, temos $2y + 2x$. Podemos fatorar o numerador e o denominador: $\frac{y^2 + xy}{2(y + x)}$. Simplificando, temos $\frac{y(y + x)}{2(y + x)} = \frac{y}{2}$.<br /><br />b) No numerador, temos $ax - ay$. Podemos fatorar o numerador: $ax - ay = a(x - y)$. No denominador, temos $x(x - y) - y(x - y)emos fatorar o denominador: $x(x - y) - y(x - y) = (x - y)(x - y) = (x - y)^2$. Simplificando, temos $\frac{a(x - y)}{(x - y)^2} = \frac{a}{x - y}$.<br /><br />Portanto, as respostas corretas são: 1) b) 1367, 2) 2007, 3) a) $\frac{2x - 1}{2x + 1}$, 4) a) $\frac{y}{2}$, b) $\frac{a}{x - y}$.