5) (UFMG) bar (A) soma das raizes da equação 7^1+x+(1)/(7^x)=8 é: (Valor:1,0) a) 0 b) -1 c) 1 d) 7 e) 8

Para resolver essa equação, podemos fazer algumas substituições para simplificar a expressão. Vamos substituir $7^x$ por $y$. Assim, a equação se torna:<br /><br />$7^{1+x} + \frac{1}{7^x} = 8$<br /><br />Podemos reescrever $7^{1+x}$ como $7 \cdot 7^x$ e $\frac{1}{7^x}$ como $y^{-1}$. Portanto, a equação fica:<br /><br />$7 \cdot y + y^{-1} = 8$<br /><br />Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por $y$ para eliminar o denominador:<br /><br />$7y^2 + 1 = 8y$<br /><br />Rearranjando a equação, temos:<br /><br />$7y^2 - 8y + 1 = 0$<br /><br />Esta é uma equação quadrática na forma $ay^2 + by + c = 0$. Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$<br /><br />Neste caso, $a = 7$, $b = -8$ e $c = 1$. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:<br /><br />$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{14}$<br /><br />Simplificando a expressão dentro da raiz, temos:<br /><br />$y = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{14}$<br /><br />$y = \frac{8 \pm 6}{14}$<br /><br />Portanto, as soluções para $y$ são:<br /><br />$y_1 = \frac{8 + 6}{14} = \frac{14}{14} = 1$<br /><br />$y_2 = \frac{8 - 6}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$<br /><br />Agora, precisamos encontrar as raízes de $7^x = y$. Podemos fazer isso tomando o logaritmo em base 7 de ambos os lados da equação:<br /><br />$log_7(7^x) = log_7(y)$<br /><br />$x = log_7(y)$<br /><br />Substituindo os valores de $y$ encontrados anteriormente, temos:<br /><br />$x_1 = log_7(1) = 0$<br /><br />$x_2 = log_7(\frac{1}{7}) = -1$<br /><br />Portanto, as raízes da equação são $x_1 = 0$ e $x_2 = -1$. A soma das raízes é:<br /><br />$0 + (-1) = -1$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção b) $-1$.