Exercicio 5. Mostre que o conjunto Q[sqrt (2)]= a+bsqrt (2);a,bin Q) é um subgrupo de (R,+)

Para mostrar que o conjunto \( Q[\sqrt{2}] = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in Q \} \) é um subgrupo de \((\mathbb{R}, +)\), precisamos verificar as seguintes propriedades:<br /><br />1. **Fechamento**: Se \( x, y \in Q[\sqrt{2}] \), então \( x + y \in Q[\sqrt{2}] \).<br /><br />2. **Comutatividade**: Para qualquer \( x, y \in Q[\sqrt{2}] \), temos \( x + y = y + x \).<br /><br />3. **Associatividade**: Para qualquer \( x, y, z \in Q[\sqrt{2}] \), temos \( (x + y) + z = x + (y + z) \).<br /><br />4. **Identidade aditiva**: O elemento \( 0 \in Q[\sqrt{2}] \) é tal que \( x + 0 = x \) para todo \( x \in Q[\sqrt{2}] \).<br /><br />5. **Inverso aditivo**: Para cada \( x \in Q[\sqrt{2}] \), existe \( -x \in Q[\sqrt{2}] \) tal que \( x + (-x) = 0 \).<br /><br />Vamos detalhar cada uma dessas propriedades:<br /><br />1. **Fechamento**: Se \( x = a + b\sqrt{2} \) e \( y = c + d\sqrt{2} \) para \( a, b, c, d \in \mathbb{Q} \), então:<br /> \[<br /> x + y = (a + b\sqrt{2}) + (c + d\sqrt{2}) = (a + c) + (b + d)\sqrt{2}<br /> \]<br /> Como \( a + c \) e \( b + d \) são números racionais, \( x + y \in Q[\sqrt{2}] \).<br /><br />2. **Comutatividade**: A adição de números reais é comutativa, então \( x + y = y + x \) para qualquer \( x, y \in Q[\sqrt{2}] \).<br /><br />3. **Associatividade**: A adição de números reais é associativa, então \( (x + y) + z = x + (y + z) \) para qualquer \( x, y, z \in Q[\sqrt{2}] \).<br /><br />4. **Identidade aditiva**: O elemento \( 0 \) é tal que \( x + 0 = x \) para todo \( x \in Q[\sqrt{2}] \). Claramente, \( 0 = 0 + 0\sqrt{2} \in Q[\sqrt{2}] \).<br /><br />5. **Inverso aditivo**: Para cada \( x = a + b\sqrt{2} \in Q[\sqrt{2}] \), o inverso aditivo é \( -x = -(a + b\sqrt{2}) = -a - b\sqrt{2} \). Claramente, \( x + (-x) = 0 \) e \( -x \in Q[\sqrt{2}] \).<br /><br />Portanto, o conjunto \( Q[\sqrt{2}] \) é um subgrupo de \((\mathbb{R}, +)\).