6 Determine a divisão de P(x)=x^2+x-2 por D(x)=2x^5+3x^4-3x^3+x-1

Para determinar a divisão de \( P(x) = x^2 + x - 2 \) por \( D(x) = 2x^5 + 3x^4 - 3x^3 + x - 1 \), podemos usar o método da divisão sintética ou a divisão polinomial tradicional. No entanto, é importante observar que a divisão de um polinômio de grau 2 por um polinômio de grau 5 geralmente resulta em um quociente de grau menor e um resto. Vamos proceder com a divisão polinomial tradicional.<br /><br />Primeiro, vamos escrever os polinômios:<br /><br />\[ P(x) = x^2 + x - 2 \]<br />\[ D(x) = 2x^5 + 3x^4 - 3x^3 + x - 1 \]<br /><br />Como \( D(x) \) é de grau 5 e \( P(x) \) é de grau 2, a divisão resultará em um quociente de grau 3 e um resto de grau 2. Vamos realizar a divisão passo a passo:<br /><br />1. Divida o termo de maior grau de \( D(x) \) pelo termo de maior grau de \( P(x) \):<br /> \[ \frac{2x^5}{x^2} = 2x^3 \]<br /><br />2. Multiplique \( 2x^3 \) por \( P(x) \):<br /> \[ 2x^3 \cdot (x^2 + x - 2) = 2x^5 + 2x^4 - 4x^3 \]<br /><br />3. Subtraia o resultado de \( D(x) \):<br /> \[ (2x^5 + 3x^4 - 3x^3 + x - 1) - (2x^5 + 2x^4 - 4x^3) = x^4 + x^3 + 4x^3 - x - 1 = x^4 + 5x^3 - x - 1 \]<br /><br />4. Repita o processo com o novo polinômio resultante:<br /> \[ \frac{x^4}{x^2} = x^2 \]<br /> \[ x^2 \cdot (x^2 + x - 2) = x^4 + x^3 - 2x^2 \]<br /> \[ (x^4 + 5x^3 - x - 1) - (x^4 + x^3 - 2x^2) = 4x^3 - x - 1 - x^3 + 2x^2 = 3x^3 + 2x^2 - x - 1 \]<br /><br />5. Continue com o próximo termo:<br /> \[ \frac{3x^3}{x^2} = 3x \]<br /> \[ 3x \cdot (x^2 + x - 2) = 3x^3 + 3x^2 - 6x \]<br /> \[ (3x^3 + 2x^2 - x - 1) - (3x^3 + 3x^2 - 6x) = -x^2 + 5x - 1 - 3x^2 + 6x = -4x^2 + 11x - 1 \]<br /><br />6. Finalmente, continue com o último termo:<br /> \[ \frac{-4x^2}{x^2} = -4 \]<br /> \[ -4 \cdot (x^2 + x - 2) = -4x^2 - 4x + 8 \]<br /> \[ (-4x^2 + 11x - 1) - (-4x^2 - 4x + 8) = 11x - 1 + 4x - 8 = 15x - 9 \]<br /><br />Portanto, a divisão de \( P(x) \) por \( D(x) \) resulta em:<br /><br />\[ Q(x) = 2x^3 + x^2 + 3x - 4 \]<br />\[ R(x) = 15x - 9 \]<br /><br />Então, a resposta é:<br /><br />\[ \frac{P(x)}{D(x)} = 2x^3 + x^2 + 3x - 4 + \frac{15x - 9}{D(x)} \]