A integral imprópria int _(0)^infty (1)/((1+x)^3)dx

Para resolver a integral imprópria \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^3} \, dx\), podemos usar uma substituição adequada. Vamos fazer a substituição \(u = 1 + x\). Então, \(du = dx\).<br /><br />Quando \(x = 0\), temos \(u = 1\).<br /><br />Quando \(x \to \infty\), temos \(u \to \infty\).<br /><br />Substituindo na integral, temos:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^3} \, dx = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^3} \, du<br />\]<br /><br />Agora, podemos resolver essa integral imprópria:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{\infty} u^{-3} \, du<br />\]<br /><br />Para integrar \(u^{-3}\), usamos a fórmula da integral de uma potência negativa:<br /><br />\[<br />\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{(para } n \neq -1)<br />\]<br /><br />Aplicando isso para \(n = -3\):<br /><br />\[<br />\int u^{-3} \, du = \frac{u^{-3+1}}{-3+1} = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2u^2}<br />\]<br /><br />Agora, avaliamos os limites de \(1\) a \(\infty\):<br /><br />\[<br />\left[ -\frac{1}{2u^2} \right]_{1}^{\infty}<br />\]<br /><br />Quando \(u \to \infty\), \(-\frac{1}{2u^2} \to 0\).<br /><br />Quando \(u = 1\), \(-\frac{1}{2u^2} = -\frac{1}{2 \cdot 1^2} = -\frac{1}{2}\).<br /><br />Portanto, temos:<br /><br />\[<br />\left[ -\frac{1}{2u^2} \right]_{1}^{\infty} = 0 - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}<br />\]<br /><br />Assim, a integral imprópria \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^3} \, dx\) é igual a \(\frac{1}{2}\).