(d) 12 y^prime prime-5 y^prime-2 y=0 [ e=e^x t 12 x^2-5 x-2=0 12 x^2-5 x-2=0 ]

Para resolver a equação diferencial dada, podemos usar o método de substituição. Vamos substituir \( y \) por \( e^{xt} \).<br /><br />A derivada de \( y \) em relação a \( x \) será \( y' = e^{xt} \cdot t + e^{xt} \cdot x \) e a derivada de segunda ordem será \( y'' = e^{xt} \cdot t^2 + 2e^{xt} \cdot xt + e^{xt} \cdot x^2 \).<br /><br />Substituindo essas expressões na equação diferencial, temos:<br /><br />\( 12(e^{xt} \cdot t^2 + 2e^{xt} \cdot xt + e^{xt} \cdot x^2) - 5(e^{xt} \cdot t + e^{xt} \cdot x) - 2e^{xt} = 0 \).<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( 12t^2e^{xt} + 24xt e^{xt} + 12x^2e^{xt} - 5te^{xt} - 5xe^{xt} - 2e^{xt} = 0 \).<br /><br />Agora, podemos dividir ambos os lados da equação por \( e^{xt} \), que não é nula:<br /><br />\( 12t^2 + 24xt + 12x^2 - 5t - 5x - 2 = 0 \).<br /><br />Esta é uma equação quadrática em \( t \). Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />\( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), onde \( a = 12 \), \( b = 24x \) e \( c = 12x^2 - 5x - 2 \).<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos os valores de \( t \) que satisfazem a equação diferencial.<br /><br />Portanto, a solução da equação diferencial é dada por \( y = e^{xt} \), onde \( t \) é uma das soluções encontradas na equação quadrática.