12. (Ufrgs 2014)Considere os polinômios p(x)=x^3eq(x)=x^2+x O número de soluções da equação p(x)=q(x) conjunto dos números reais, é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

Para encontrar o número de soluções da equação \( p(x) = q(x) \) no conjunto dos números reais, precisamos igualar os polinômios e resolver a equação resultante.<br /><br />Dado que \( p(x) = x^3 \) e \( q(x) = x^2 + x \), podemos escrever a equação como:<br /><br />\[ x^3 = x^2 + x \]<br /><br />Agora, vamos reescrever a equação em termos de zero:<br /><br />\[ x^3 - x^2 - x = 0 \]<br /><br />Podemos fatorar a equação:<br /><br />\[ x(x^2 - x - 1) = 0 \]<br /><br />Agora, temos duas equações:<br /><br />1. \( x0 \. \( x^2 - x - 1 = 0 \)<br /><br />A primeira equação tem uma solução real, que é \( x = 0 \).<br /><br />Para a segunda equação, podemos usar a fórmula quadrática para encontrar as soluções:<br /><br />\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]<br /><br />Onde \( a = 1 \), \( b = -1 \) e \( c = -1 \). Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{5 - 4}}{2} \]<br /><br />\[ x = \frac{1 \pm 1}{2} \]<br /><br />Portanto, as soluções da equação \( x^2 - \) são \( x = 1 \) e \( x = -1 \).<br /><br />Assim, temos três soluções reais para a equação \( p(x) = q(x) \), que são \( x = 0 \), \( x = 1 \) e \( x = -1 \).<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção d) 3.