U_{2)=3 U_(x+1)=(4 U_(x)+8)/(U_(x)+4).

Pour résoudre cette question, nous devons trouver la valeur de \( U_{x+1} \) en utilisant la formule donnée et la valeur de \( U_2 \) fournie.<br /><br />La formule donnée est \( U_{x+1} = \frac{4U_x + 8}{U_x + 4} \).<br /><br />Nous savons que \( U_2 = 3 \), donc nous pouvons substituer cette valeur dans la formule pour trouver \( U_3 \).<br /><br />\( U_3 = \frac{4U_2 + 8}{U_2 + 4} \)<br /><br />En substituant \( U_2 = 3 \) dans l'équation, nous obtenons :<br /><br />\( U_3 = \frac{4(3) + 8}{3 + 4} = \frac{12 + 8}{3 + 4} = \frac{20}{7} \)<br /><br />Donc, \( U_3 = \frac{20}{7} \).<br /><br />Maintenant, nous pouvons utiliser cette valeur pour trouver \( U_4 \) en utilisant la formule donnée :<br /><br />\( U_4 = \frac{4U_3 + 8}{U_3 + 4} \)<br /><br />En substituant \( U_3 = \frac{20}{7} \) dans l'équation, nous obtenons :<br /><br />\( U_4 = \frac{4(\frac{20}{7}) + 8}{(\frac{20}{7}) + 4} = \frac{\frac{80}{7} + 8}{\frac{20}{7} + 4} = \frac{\frac{80}{7} + \frac{56}{7}}{\frac{20}{7} + \frac{28}{7}} = \frac{\frac{136}{7}}{\frac{48}{7}} = \frac{136}{48} = \frac{17}{6} \)<br /><br />Donc, \( U_4 = \frac{17}{6} \).<br /><br />En utilisant cette valeur, nous pouvons trouver \( U_5 \) en utilisant la formule donnée :<br /><br />\( U_5 = \frac{4U_4 + 8}{U_4 + 4} \)<br /><br />En substituant \( U_4 = \frac{17}{6} \) dans l'équation, nous obtenons :<br /><br />\( U_5 = \frac{4(\frac{17}{6}) + 8}{(\frac{17}{6}) + 4} = \frac{\frac{68}{6} + 8}{\frac{17}{6} + 4} = \frac{\frac{68}{6} + \frac{48}{6}}{\frac{17}{6} + \frac{24}{6}} = \frac{\frac{116}{6}}{\frac{41}{6}} = \frac{116}{41} \)<br /><br />Donc, \( U_5 = \frac{116}{41} \).<br /><br />En utilisant cette valeur, nous pouvons trouver \( U_6 \) en utilisant la formule donnée :<br /><br />\( U_6 = \frac{4U_5 + 8}{U_5 + 4}En substituant \( U_5 = \frac{116}{41} \) dans l'équation, nous obtenons :<br /><br />\( U_6 = \frac{4(\frac{116}{41}) + 8}{(\frac{116}{41}) + 4} = \frac{\frac{464}{41} + 8}{\frac{116}{41} + 4} = \frac{\frac{464}{41} + \frac{328}{41}}{\frac{116}{41} + \frac{164}{41}} = \frac{\frac{792}{41}}{\frac{280}{41}} = \frac{792}{280} = \frac{99}{35} \)<br /><br />Donc, \( U_6 = \frac{99}{35} \).<br /><br />En utilisant cette valeur, nous pouvons trouver \( U_7 \) en utilisant la formule donnée :<br /><br />\( U_7 = \frac{4U_6 + 8}{U_6 + 4} \)<br /><br />En substituant \( U_6 = \frac{99}{35} \) dans l'équation, nous obtenons :<br /><br />\( U_7 = \frac{4(\frac{99}{35}) + 8}{(\frac{99}{35}) + 4} = \frac{\frac{396}{35} + 8}{\frac{99}{35} + 4} = \frac{\frac{396}{35} + \frac{280}{35}}{\frac{