no plano , com o sistema de coordenadas cartesiano usual com origem no ponto o , as retas representadas pelas equaçōes y=x e y+4x-20=0 com o lixo dos x ( eixo horiz ontal | ) então , a medida da área do triângulo yoxe igual?

Para determinar a medida da área do triângulo formado pelas retas representadas pelas equações \( y = x \) e \( y + 4x - 20 = 0 \), precisamos encontrar os pontos de interseção dessas retas.<br /><br />Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das duas retas. Para isso, igualamos as duas equações:<br /><br />\[ x = y \]<br />\[ y + 4x - 20 = 0 \]<br /><br />Substituindo \( y \) por \( x \) na segunda equação:<br /><br />\[ x + 4x - 20 = 0 \]<br />\[ 5x - 20 = 0 \]<br />\[ 5x = 20 \]<br />\[ x = 4 \]<br /><br />Agora, substituímos \( x = 4 \) na primeira equação para encontrar \( y \):<br /><br />\[ y = 4 \]<br /><br />Portanto, o ponto de interseção das duas retas é \( (4, 4) \).<br /><br />Para encontrar os outros dois pontos que formam o triângulo, precisamos encontrar os pontos onde cada reta intercepta os eixos. Para a reta \( y = x \):<br /><br />- Intercepta o eixo \( y \) em \( (0, 0) \)<br />- Intercepta o eixo \( x \) em \( (0, 0) \)<br /><br />Para a reta \( y + 4x - 20 = 0 \):<br /><br />- Intercepta o eixo \( y \) quando \( x = 0 \):<br /><br />\[ y - 20 = 0 \]<br />\[ y = 20 \]<br /><br />Portanto, o ponto de interceptação com o eixo \( y \) é \( (0, 20) \).<br /><br />- Intercepta o eixo \( x \) quando \( y = 0 \):<br /><br />\[ 0 + 4x - 20 = 0 \]<br />\[ 4x = 20 \]<br />\[ x = 5 \]<br /><br />Portanto, o ponto de interceptação com o eixo \( x \) é \( (5, 0) \).<br /><br />Agora, temos os três pontos que formam o triângulo: \( (0, 0) \), \( (4, 4) \), e \( (5, 0) \).<br /><br />Podemos usar a fórmula da área do triângulo para calcular a área:<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]<br /><br />Substituindo os valores dos pontos:<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| 0(4 - 0) + 4(0 - 0) + 5(0 - 4) \right| \]<br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 - 20 \right| \]<br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times 20 \]<br />\[ \text{Área} = 10 \]<br /><br />Portanto, a medida da área do triângulo é 10 unidades quadradas.