A razão de uma progressão geométrica é (1)/(4) e a soma dos primeiros 4 termos é 170. Qual é o primeiro termo da progressão? square

Para encontrar o primeiro termo da progressão geométrica, podemos usar a fórmula da soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica:<br /><br />\[ S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1} \]<br /><br />Onde:<br />- \( S_n \) é a soma dos primeiros \( n \) termos,<br />- \( a_1 \) é o primeiro termo,<br />- \( r \) é a razão,<br />- \( n \) é o número de termos.<br /><br />No caso dado, temos:<br />- \( S_4 = 170 \) (soma dos primeiros 4 termos),<br />- \( r = \frac{1}{4} \) (razão),<br />- \( n = 4 \) (número de termos).<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ 170 = \frac{a_1 \cdot \left(\left(\frac{1}{4}\right)^4 - 1\right)}{\frac{1}{4} - 1} \]<br /><br />Simplificando a expressão dentro dos parênteses:<br /><br />\[ \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256} \]<br /><br />Então:<br /><br />\[ 170 = \frac{a_1 \cdot \left(\frac{1}{256} - 1\right)}{\frac{1}{4} - 1} \]<br /><br />\[ 170 = \frac{a_1 \cdot \left(\frac{1}{256} - \frac{256}{256}\right)}{\frac{1}{4} - \frac{4}{4}} \]<br /><br />\[ 170 = \frac{a_1 \cdot \left(\frac{1 - 256}{256}\right)}{\frac{1 - 4}{4}} \]<br /><br />\[ 170 = \frac{a_1 \cdot \left(\frac{-255}{256}\right)}{\frac{-3}{4}} \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por \(\frac{-4}{3}\):<br /><br />\[ 170 \cdot \frac{-4}{3} = a_1 \cdot \frac{-255}{256} \]<br /><br />\[ -\frac{680}{3} = a_1 \cdot \frac{-255}{256} \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por \(\frac{-256}{-255}\):<br /><br />\[ a_1 = \frac{-680}{3} \cdot \frac{-256}{-255} \]<br /><br />\[ a_1 = \frac{680 \cdot 256}{3 \cdot 255} \]<br /><br />\[ a_1 = \frac{174080}{765} \]<br /><br />Simplificando a fração:<br /><br />\[ a_1 = \frac{174080}{765} \]<br /><br />Portanto, o primeiro termo da progressão geométrica é \(\frac{174080}{765}\).