z=f(x,y)=ay^3+bx^2-by^2-2x Se houver ponto de sela , demonstre também pela definição, que tal ponto é ponto de mínimo local e

Para determinar se há pontos de sela e, em caso afirmativo, se algum deles é um ponto de mínimo local, podemos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Encontrar as derivadas parciais de \( f(x, y) \):**<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2bx - 2 \]<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 3ay^2 - 2by \]<br /><br />2. **Encontrar os pontos críticos, resolvendo as equações \( \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \):**<br /><br />\[ 2bx - 2 = 0 \implies x = 1 \]<br />\[ 3ay^2 - 2by = 0 \implies y(3a - 2b) = 0 \]<br /><br />Portanto, os pontos críticos são \( (1, 0) \) e \( (1, \frac{2b}{3a}) \).<br /><br />3. **Determinar a natureza dos pontos críticos usando a matriz Hessiana:**<br /><br />A matriz Hessiana \( H \) é dada por:<br /><br />\[ H = \begin{pmatrix}<br />\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\<br />\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}<br />\end{pmatrix} \]<br /><br />Calculando as segundas derivadas:<br /><br />\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2b \]<br />\[ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6ay - 2b \]<br />\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 0 \]<br /><br />Portanto, a matriz Hessiana é:<br /><br />\[ H = \begin{pmatrix}<br />2b & 0 \\<br />0 & 6ay - 2b<br />\end{pmatrix} \]<br /><br />4. **Analisar a matriz Hessiana nos pontos críticos:**<br /><br />Para o ponto \( (1, 0) \):<br /><br />\[ H(1, 0) = \begin{pmatrix}<br />2b & 0 \\<br />0 & -2b<br />\end{pmatrix} \]<br /><br />O determinante da matriz Hessiana é:<br /><br />\[ \text{det}(H) = 2b \cdot (-2b) - 0 \cdot 0 = -4b^2 \]<br /><br />Como o determinante é negativo, o ponto \( (1, 0) \) é um ponto de sela.<br /><br />Para o ponto \( (1, \frac{2b}{3a}) \):<br /><br />\[ H(1, \frac{2b}{3a}) = \begin{pmatrix}<br />2b & 0 \\<br />0 & 6a \cdot \frac{2b}{3a} - 2b<br />\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}<br />2b & 0 \\<br />0 & 4b<br />\end{pmatrix} \]<br /><br />O determinante da matriz Hessiana é:<br /><br />\[ \text{det}(H) = 2b \cdot 4b - 0 \cdot 0 = 8b^2 \]<br /><br />Como o determinante é positivo, o ponto \( (1, \frac{2b}{3a}) \) é um ponto de mínimo local.<br /><br />Portanto, o ponto \( (1, \frac{2b}{3a}) \) é um ponto de mínimo local.