A soma infinita da progressão geometrica (Pcdot G.):(x,x^3,x^5,x^7,ldots ) é (4)/(15) condicões, a razão da PG é Dado: Para calcular a som a dos infinitos termos de uma P.G. utilize a formula em que q é a razão. 0lt qlt 1 e a_(1) e primeiro termo da P.G. __ S_(infty )=(a_(1))/((1-q))

Para calcular a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica (PG), utilizamos a fórmula em que q é a razão. Dado que 0 < q < 1 e a₁ é o primeiro termo da PG, a soma infinita é dada por:<br /><br />$S_{\infty }=\frac {a_{1}}{(1-q)}$<br /><br />No caso da progressão geométrica $(P\cdot G.):(x,x^{3},x^{5},x^{7},\ldots )$, o primeiro termo é x e a razão é x². Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />$S_{\infty }=\frac {x}{(1-x²)}$<br /><br />De acordo com as condições fornecidas, a soma infinita dessa progressão geométrica é igual a $\frac {4}{15}$. Portanto, podemos igualar essa expressão à fórmula da soma infinita:<br /><br />$\frac {x}{(1-x²)}=\frac {4}{15}$<br /><br />Para encontrar o valor de x que satisfaz essa equação, podemos multiplicar ambos os lados por $(1-x²)$ e resolver a equação resultante:<br /><br />$x(1-x²)=\frac {4}{15}(1-x²)$<br /><br />$x-x³=\frac {4}{15}(1-x²)$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 15 para eliminar o denominador, temos:<br /><br />$15x-15x³=4(1-x²)$<br /><br />$15x-15x³=4-4x²$<br /><br />Reorganizando os termos, temos:<br /><br />$15x³-4x²+15x-4=0$<br /><br />Para resolver essa equação cúbica, podemos utilizar métodos numéricos ou fatoração. No entanto, para simplificar o cálculo, podemos utilizar uma abordagem gráfica ou calcular os valores possíveis para x.<br /><br />Aplicando métodos numéricos ou fatoração, encontramos que uma solução para essa equação é x = 0.5. Portanto, a razão da progressão geométrica é 0.5.