41. (Vunesp-SP) Suponhamos que uma represa de área igual a 128km^2 tenha sido infestada por uma vegetação aquática Suponhamos também que, por ocasila de um estudo sobre o problema, a drea tomada pela ve- getação fosse de 8km^2 e que esse estudo tivesse concluido que a taxa de aumento da drea cumulativamente infestada era de 50% ao ano. Nessas condiçoes: a) Qual seria a drea infestada n anos depois do estudo, caso nào se tomasse nenhuma providência? b) Com as mesmas hipóteses, em quantos anos a vegetação tomaria conta de toda a represa? (Use os valores aproximados log_(10)2=0,30elog_(10)3=0,48)

Vamos corrigir e detalhar os cálculos para garantir que as respostas sejam precisas.<br /><br />### Parte a) Área infestada após \( n \) anos<br /><br />A área inicial infestada é \( 8 \, km^2 \). A taxa de crescimento é \( 50\% \) ao ano, ou seja, \( 0,5 \) ao ano.<br /><br />A fórmula para o crescimento exponencial é:<br />\[ A(n) = A_0 \times (1 + r)^n \]<br /><br />Onde:<br />- \( A_0 \) é a área inicial infestada,<br />- \( r \) é a taxa de crescimento,<br />- \( n \) é o número de anos.<br /><br />Substituindo os valores:<br />\[ A(n) = 8 \times (1 + 0,5)^n \]<br />\[ A(n) = 8 \times (1,5)^n \]<br /><br />### Parte b) Em quantos anos a vegetação tomaria conta de toda a represa?<br /><br />Queremos encontrar o tempo \( n \) para que a área infestada seja igual à área total da represa, que é \( 128 \, km^2 \).<br /><br />Então, temos:<br />\[ 8 \times (1,5)^n = 128 \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 8:<br />\[ (1,5)^n = 16 \]<br /><br />Para resolver essa equação, usamos logaritmos:<br />\[ n = \log_{1,5}(16) \]<br /><br />Podemos usar a propriedade dos logaritmos para converter a base:<br />\[ \log_{1,5}(16) = \frac{\log_{10}(16)}{\log_{10}(1,5)} \]<br /><br />Usando os valores aproximados fornecidos:<br />\[ \log_{10}(16) \approx 1,204 \]<br />\[ \log_{10}(1,5) \approx 0,176 \]<br /><br />Então:<br />\[ n = \frac{1,204}{0,176} \approx 6,86 \]<br /><br />Portanto, a vegetação tomaria conta de toda a represa em aproximadamente \( 7 \) anos.<br /><br />### Resumo<br /><br />a) A área infestada após \( n \) anos é:<br />\[ A(n) = 8 \times (1,5)^n \]<br /><br />b) A vegetação tomaria conta de toda a represa em aproximadamente \( 7 \) anos.