33. Resolva a inequação 2cos^2x+3cosx+1gt sendo xin [0,2pi [

Para resolver a inequação \(2\cos^2(x) + 3\cos(x) + 1 > 0\), vamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Substituir \( \cos(x) \) por uma variável:**<br /> Vamos substituir \( \cos(x) \) por \( y \). Assim, a inequação se torna:<br /> \[<br /> 2y^2 + 3y + 1 > 0<br /> \]<br /><br />2. **Resolver a equação \( 2y^2 + 3y + 1 = 0 \):**<br /> Para encontrar os pontos críticos, resolvemos a equação quadrática:<br /> \[<br /> 2y^2 + 3y + 1 = 0<br /> \]<br /> Utilizando a fórmula de Bhaskara, \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), onde \( a = 2 \), \( b = 3 \) e \( c = 1 \):<br /> \[<br /> y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{-3 \pm 1}{4}<br /> \]<br /> Assim, temos duas raízes:<br /> \[<br /> y_1 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}<br /> \]<br /> \[<br /> y_2 = \frac{-3 - 1}{4} = -1<br /> \]<br /><br />3. **Analisar o intervalo entre as raízes:**<br /> As raízes \( y_1 = -\frac{1}{2} \) e \( y_2 = -1 \) dividem a reta numérica em três intervalos: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, -\frac{1}{2}) \) e \( (-\frac{1}{2}, \infty) \).<br /><br />4. **Testar os intervalos:**<br /> Para determinar onde a expressão \( 2y^2 + 3y + 1 \) é positiva, testamos um valor em cada intervalo:<br /> - Para \( y \in (-\infty, -1) \), escolha \( y = -2 \):<br /> \[<br /> 2(-2)^2 + 3(-2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 > 0<br /> \]<br /> - Para \( y \in (-1, -\frac{1}{2}) \), escolha \( y = -\frac{3}{4} \):<br /> \[<br /> 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) + 1 = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{8}{8} = -\frac{1}{8} < 0<br /> \]<br /> - Para \( y \in (-\frac{1}{2}, \infty) \), escolha \( y = 0 \):<br /> \[<br /> 2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1 > 0<br /> \]<br /><br />Portanto, a expressão \( 2y^2 + 3y + 1 \) é positiva nos intervalos \( (-\infty, -1) \) e \( (-\frac{1}{2}, \infty) \).<br /><br />5. **Converter de volta para \( x \):**<br /> Como \( y = \cos(x) \), os intervalos em \( x \) são:<br /> \[<br /> \cos(x) \in (-\infty, -1) \quad \text{ou} \quad \cos(x) \in (-\frac{1}{2}, \infty)<br /> \]<br /> Isso corresponde a:<br /> \[<br /> x \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) \cup \left( 0, \frac{\pi}{3} \right) \cup \left( \frac{5\pi}{3}, 2\pi \right)<br /> \]<br /><br />Portanto, a solução da inequação é:<br />\[<br />x \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) \cup \left( 0, \frac{\pi}{3}