6) Dada a função quadrática f(x)=3x^2-4x+1 , determine:

Para determinar as características da função quadrática \( f(x) = 3x^2 - 4x + 1 \), podemos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Coeficientes da função:**<br /> - Coeficiente de \( x^2 \): \( a = 3 \)<br /> - Coeficiente de \( x \): \( b = -4 \)<br /> - Termo constante: \( c = 1 \)<br /><br />2. **Condição de parabóide:**<br /> - Como \( a = 3 \) é positivo, a parábola abre para cima.<br /><br />3. **Vértice da parábola:**<br /> - A coordenada \( x \) do vértice é dada por \( x = -\frac{b}{2a} \).<br /> - Substituindo os valores de \( a \) e \( b \):<br /> \[<br /> x = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}<br /> \]<br /> - Para encontrar a coordenada \( y \) do vértice, substituímos \( x = \frac{2}{3} \) na função:<br /> \[<br /> f\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 1<br /> \]<br /> \[<br /> = 3 \cdot \frac{4}{9} - 4 \cdot \frac{2}{3} + 1<br /> \]<br /> \[<br /> = \frac{12}{9} - \frac{8}{3} + 1<br /> \]<br /> \[<br /> = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 1<br /> \]<br /> \[<br /> = \frac{4 - 8}{3} + 1<br /> \]<br /> \[<br /> = -\frac{4}{3} + 1<br /> \]<br /> \[<br /> = -\frac{4}{3} + \frac{3}{3}<br /> \]<br /> \[<br /> = -\frac{1}{3}<br /> \]<br /> - Portanto, o vértice da parábola é \( \left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right) \).<br /><br />4. **Interceptos:**<br /> - **Intercepto em \( y \)**: É o valor de \( f(x) \) quando \( x = 0 \):<br /> \[<br /> f(0) = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1<br /> \]<br /> - Portanto, o intercepto em \( y \) é \( (0, 1) \).<br /><br /> - **Intercepto em \( x \)**: Para encontrar os interceptos em \( x \), resolvemos a equação \( 3x^2 - 4x + 1 = 0 \) usando a fórmula de Bhaskara:<br /> \[<br /> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}<br /> \]<br /> \[<br /> x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}<br /> \]<br /> \[<br /> x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6}<br /> \]<br /> \[<br /> x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6}<br /> \]<br /> \[<br /> x = \frac{4 \pm 2}{6}<br /> \]<br /> \[<br /> x = \frac{6}{6} \quad \text{ou} \quad x = \frac{2}{6}<br /> \]<br /> \[<br /> x = 1 \quad \text{ou} \quad x = \frac{1}{3}<br /> \]<br /> - Portanto, os interceptos em \( x \) são \( (1, 0) \) e \( \left( \frac{1}{3}, 0 \right) \).<br /><br />Resumindo, as características da função quadrática \( f(x) = 3x^2 - 4x + 1 \) são:<br />- A parábola abre para cima.<br />- O vértice da parábola é \( \left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right) \).<br />- O intercepto em \( y \) é \( (0, 1) \).<br />- Os interceptos em \( x \) são