Se z=a+bi, quantos pares (a,b) satisfazem a equação z^2 =a-bi

Para encontrar quantos pares $(a, b)$ satisfazem a equação $z^2 = a - bi$, onde $z = a + bi$, podemos substituir $z$ na equação e simplificar:<br /><br />$z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2$<br /><br />Igualando os coeficientes reais e imaginários, temos:<br /><br />$a^2 - b^2 = a$ (coeficiente real)<br />$2ab = -b$ (coeficiente imaginário)<br /><br />Podemos simplificar a segunda equação dividindo ambos os lados por $b$ (assumindo que $b \neq 0$):<br /><br />$2a = -1$<br /><br />Portanto, $a = -\frac{1}{2}$.<br /><br />Substituindo esse valor de $a$ na primeira equação, temos:<br /><br />$\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - b^2 = -\frac{1}{2}$<br /><br />$\frac{1}{4} - b^2 = -\frac{1}{2}$<br /><br />$b^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$<br /><br />$b = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$<br /><br />Portanto, os pares $(a, b)$ que satisfazem a equação são:<br /><br />$\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ e $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$<br /><br />Existem, portanto, 2 pares de números que satisfazem a equação.