a) sum _(k=1)^infty (-1)^k+1(2^k)/(k!)

Para determinar se a série \( \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{2^k}{k!} \) converge, podemos usar o teste da Alternância ou o teste da Diferença.<br /><br />### Teste da Alternância<br /><br />O teste da Alternância é aplicável para séries alternadas. Para uma série \( \sum (-1)^n a_n \), onde \( a_n \) é uma sequência de números, a série converge se \( a_n \) for monotonamente decrescente e tende a zero.<br /><br />Para a série dada, \( a_k = \frac{2^k}{k!} \).<br /><br />Vamos verificar se \( a_k \) é monotonamente decrescente e tende a zero:<br /><br />1. **Monotonamente decrescente**: Para \( k \geq 2 \), \( \frac{2^k}{k!} \) diminui mais rapidamente do que \( \frac{2^{k-1}}{(k-1)!} \). Isso pode ser verificado numericamente ou analiticamente.<br /><br />2. **Tende a zero**: Para \( k \to \infty \), \( \frac{2^k}{k!} \to 0 \) rapidamente devido ao fator \( k! \) que cresce muito mais rápido do que \( 2^k \).<br /><br />Portanto, a série \( \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{2^k}{k!} \) passa no teste da Alternância.<br /><br />### Teste da Diferença<br /><br />O teste da Diferença é aplicável para séries onde \( a_n \) é uma sequência de números. A série \( \sum a_n \) converge se a série \( \sum (a_{n+1} - a_n) \) converge.<br /><br />Para a série dada, \( a_k = \frac{2^k}{k!} \).<br /><br />Vamos calcular a diferença \( a_{k+1} - a_k \):<br /><br />\[ a_{k+1} = \frac{2^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{2 \cdot 2^k}{(k+1)!} = \frac{2^k}{k!} \cdot \frac{2}{k+1} = a_k \cdot \frac{2}{k+1} \]<br /><br />Então,<br /><br />\[ a_{k+1} - a_k = \left( a_k \cdot \frac{2}{k+1} \right) - a_k = a_k \left( \frac{2}{k+1} - 1 \right) = a_k \left( \frac{2 - (k+1)}{k+1} \right) = a_k \left( \frac{-k-1}{k+1} \right) \]<br /><br />Para \( k \geq 1 \), \( \frac{-k-1}{k+1} \) é negativo e tende a -1 quando \( k \to \infty \). Portanto, a série \( \sum (a_{k+1} - a_k) \) converge.<br /><br />Portanto, a série \( \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{2^k}{k!} \) converge.