5: simplefique a) A=log _(2) 0,5+log _(3) sqrt(3)+log _(2) 8 b) M=log _(4) 4+log _(7) 13 cdot log 10 c) 0=(log _(9) 2) cdot(log _(5) 5) cdot(log _(3) 3) d) R=log 0,001+log _(2) 4 sqrt(32)-log _(2) 0,125

Vamos simplificar cada uma das expressões fornecidas:<br /><br />a) \( A=\log _{2} 0,5+\log _{3} \sqrt{3}+\log _{4} 8 \)<br /><br />Para simplificar essa expressão, podemos usar as propriedades dos logaritmos.<br /><br />Primeiro, vamos simplificar \( \log _{2} 0,5 \). Sabemos que \( 0,5 = \frac{1}{2} \), então podemos reescrever a expressão como \( \log _{2} \frac{1}{2} \). Usando a propriedade do logaritmo de uma fração, temos \( \log _{2} \frac{1}{2} = -\log _{2} 2 \). Como \( \log _{2} 2 = 1 \), temos \( \log _{2} \frac{1}{2} = -1 \).<br /><br />Agora, vamos simplificar \( \log _{3} \sqrt{3} \). Sabemos que \( \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} \), então podemos reescrever a expressão como \( \log _{3} 3^{\frac{1}{2}} \). Usando a propriedade do logaritmo de uma potência, temos \( \log _{3} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \log _{3} 3 \). Como \( \log _{3} 3 = 1 \), temos \( \log _{3} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \).<br /><br />Por fim, vamos simplificar \( \log _{4} 8 \). Sabemos que \( 8 = 2^3 \), então podemos reescrever a expressão como \( \log _{4} 2^3 \). Usando a propriedade do logaritmo de uma potência, temos \( \log _{4} 2^3 = 3 \cdot \log _{4} 2 \). Como \( \log _{4} 2 = \frac{1}{2} \), temos \( \log _{4} 2^3 = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \).<br /><br />Somando todos os termos, temos \( A = -1 + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1 \).<br /><br />b) \( M=\log _{4} 4+\log _{7} 1+3 \cdot \log 10 \)<br /><br />Para simplificar essa expressão, podemos usar as propriedades dos logaritmos.<br /><br />Primeiro, vamos simplificar \( \log _{4} 4 \). Sabemos que \( 4 = 2^2 \), então podemos reescrever a expressão como \( \log _{4} 2^2 \). Usando a propriedade do logaritmo de uma potência, temos \( \log _{4} 2^2 = 2 \cdot \log _{4} 2 \). Como \( \log _{4} 2 = \frac{1}{2} \), temos \( \log _{4} 2^2 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \).<br /><br />Agora, vamos simplificar \( \log _{7} 1 \). Sabemos que \( \log _{7} 1 = 0 \), pois qualquer número elevado a zero é igual a 1.<br /><br />Por fim, vamos simplificar \( 3 \cdot \log 10 \). Sabemos que \( \log 10 = 1 \), pois \( 10 = 10^1 \), então temos \( 3 \cdot \log 10 = 3 \cdot 1 = 3 \).<br /><br />Somando todos os termos, temos \( M = 1 + 0 + 3 = 4 \).<br /><br />c) \( 0=\left(\log _{9} 2\right) \cdot\left(\log _{2} 5\right) \cdot\left(\log _{3} 3\right) \)<br /><br />Para simplificar essa expressão, podemos usar as propriedades dos logaritmos.<br /><br />Primeiro, vamos simplificar \( \log _{9} 2 \). Sabemos que \( 9 = 3^2 \), então podemos reescrever a expressão como \( \log _{3^2} 2 \). Usando a propriedade do logaritmo de uma potência, temos \( \log _{3^2} 2 = \frac{1}{2}