41. Resolva as seguintes equaçōes exponenciais na và- riável x: a) 2^x=64 b) 3^x-2=9 c) 5^x^(2-2x)=125 d) 10^1-x=(1)/(10) e) 2^4x-x^(2)=8 f) (10^x)^1-x=0,000001 g) 3^2-x=(1)/(27) h) 3^x-5=27^1-x 42. Resolva as equações exponenciais: i) 2cdot 3^x-2=162 c) 5cdot 2^x^(2-4)=160 b) 3cdot 5^x-1=75 d) 10cdot 2^x+3=10 43 . Resolva as seguintes equaçōes: 2^x+1+2^x=48 c) 7^x+7^x-1=8 b) 2^x+3+2^x+1+2^x=88 d) 4cdot 2^x+2^x-1=72

41. Resolva as seguintes equações exponenciais na variável x:<br /><br />a) \(2^{x} = 64\)<br /><br />Para resolver essa equação, podemos usar a propriedade dos expoentes. Sabemos que \(2^{6} = 64\), então podemos igualar os expoentes:<br /><br />\(x = 6\)<br /><br />b) \(3^{x-2} = 9\)<br /><br />Novamente, podemos usar a propriedade dos expoentes. Sabemos que \(3^{2} = 9\), então podemos igualar os expoentes:<br /><br />\(x - 2 = 2\)<br /><br />Resolvendo para x, temos:<br /><br />\(x = 4\)<br /><br />c) \(5^{x^{2}-2x} = 125\)<br /><br />Podemos reescrever 125 como uma potência de 5, ou seja, \(5^{3}\). Então, temos:<br /><br />\(5^{x^{2}-2x} = 5^{3}\)<br /><br />Igualando os expoentes, temos:<br /><br />\(x^{2}-2x = 3\)<br /><br />Resolvendo essa equação quadrática, temos:<br /><br />\(x^{2}-2x-3 = 0\)<br /><br />Fatorando, temos:<br /><br />\((x-3)(x+1) = 0\)<br /><br />Portanto, as soluções são:<br /><br />\(x = 3\) ou \(x = -1\)<br /><br />d) \(10^{1-x} = \frac{1}{10}\)<br /><br />Podemos reescrever \(\frac{1}{10}\) como uma potência de 10, ou seja, \(10^{-1}\). Então, temos:<br /><br />\(10^{1-x} = 10^{-1}\)<br /><br />Igualando os expoentes, temos:<br /><br />\(1-x = -1\)<br /><br />Resolvendo para x, temos:<br /><br />\(x = 2\)<br /><br />e) \(2^{4x-x^{2}} = 8\)<br /><br />Podemos reescrever 8 como uma potência de 2, ou seja, \(2^{3}\). Então, temos:<br /><br />\(2^{4x-x^{2}} = 2^{3}\)<br /><br />Igualando os expoentes, temos:<br /><br />\(4x - x^{2} = 3\)<br /><br />Resolvendo essa equação quadrática, temos:<br /><br />\(x^{2}-4x+3 = 0\)<br /><br />Fatorando, temos:<br /><br />\((x-1)(x-3) = 0\)<br /><br />Portanto, as soluções são:<br /><br />\(x = 1\) ou \(x = 3\)<br /><br />f) \((10^{x})^{1-x} = 0,000001\)<br /><br />Podemos reescrever 0,000001 como uma potência de 10, ou seja, \(10^{-6}\). Então, temos:<br /><br />\((10^{x})^{1-x} = 10^{-6}\)<br /><br />Igualando os expoentes, temos:<br /><br />\(x(1-x) = -6\)<br /><br />Resolvendo essa equação quadrática, temos:<br /><br />\(x - x^{2} = -6\)<br /><br />\(x^{2} - x - 6 = 0\)<br /><br />Fatorando, temos:<br /><br />\((x-3)(x+2) = 0\)<br /><br />Portanto, as soluções são:<br /><br />\(x = 3\) ou \(x = -2\)<br /><br />g) \(3^{2-x} = \frac{1}{27}\)<br /><br />Podemos reescrever \(\frac{1}{27}\) como uma potência de 3, ou seja, \(3^{-3}\). Então, temos:<br /><br />\(3^{2-x} = 3^{-3}\)<br /><br />Igualando os expoentes, temos:<br /><br />\(2-x = -3\)<br /><br />Resolvendo para x, temos:<br /><br />\(x = 5\)<br /><br />h) \(3^{x-5} = 27^{1-x}\)<br /><br />Podemos reescrever 27 como uma potência de 3, ou seja, \(3^{3}\). Então, temos:<br /><br />\(3^{x-5} = (3^{3})^{1-x}\)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\(3^{x-5} = 3^{3-3x}\)<br /><br />Igualando os expoentes, temos:<br /><br />\(x-5 = 3-3x\)<br /><br />Resolvendo para x, temos:<br /><br />\(4x = 8\)<br /><br />\(x = 2\)<br /><br />42. Resolva as equações exponenciais:<br /><br />i) \(2 \cdot 3^{x-2} = 162\)<br /><br />Dividindo ambos os l