Exercice 1 Soit f la fonction définie sur ]-1;+infty par : f(x)=(xsqrt (2))/(sqrt (1+x)) et (C_(f)) sa courbe dans un repère orthonormé (O;overrightarrow (i);overrightarrow (j)) a) Calculer : lim _(xarrow -1^+)f(x) et lim _(xarrow +infty )f(x) b) Déterminer les branches infinies de la courbe (C_(f)) II a) Montrer que : forall xin ]-1;+infty [, f'(x)=(sqrt (2)(x+2))/(2sqrt ((1+x)^3)) b) Donner le tableau de variations de la fonction f. c) Déterminer f([0;1]) d) Montrer que : f(x)-x=(x(1-x))/((sqrt (1+x))(sqrt (2)+sqrt (1+x))) En déduire les positions relatives de (C_(f)) et la droite D:y=x 4) Déterminer l'équation (Delta ) de la tangente à la courbe (C_(f)) au point d'abscisse a 5) Calculer f''(x) pour tout xin ]-1;+infty [ et en déduire la concavité de (C_(f)) sur ]-1;+infty 6) Tracer la courbe (C_(f)) On prend les points sqrt (2) 1. 4. 7) Montrer qu'il admet une fonction réciproque f^-1 définie sur un intervalle à déterminer. b) Tracer (C_(f^-1)) dans le même repère.

Exercice 1<br />a) Pour calculer $\lim _{x\rightarrow -1^{+}}f(x)$, nous devons substituer $x$ par $-1$ dans la fonction $f(x)$ et simplifier l'expression. De même, pour calculer $\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)$, nous devons substituer $x$ par $+\infty$ dans la fonction $f(x)$ et simplifier l'expression.<br />b) Les branches infinies de la courbe $(C_{f})$ peuvent être déterminées en étudiant le comportement de la fonction $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-1$ et $+\infty$.<br />II<br />a) Pour montrer que $\forall x\in ]-1;+\infty [,\quad f'(x)=\frac {\sqrt {2}(x+2)}{2\sqrt {(1+x)^{3}}}$, nous devons dériver la fonction $f(x)$ par rapport à $x$ et simplifier l'expression.<br />b) Le tableau de variations de la fonction $f$ peut être obtenu en étudiant le signe de sa dérivée $f'(x)$ sur l'intervalle $]-1;+\infty[$.<br />c) Pour déterminer $f([0;1])$, nous devons substituer les valeurs de $x$ dans l'intervalle $[0;1]$ dans la fonction $f(x)$ et calculer les valeurs correspondantes.<br />d) Pour montrer que $f(x)-x=\frac {x(1-x)}{(\sqrt {1+x})(\sqrt {2}+\sqrt {1+x})}$, nous devons simplifier l'expression et montrer que les deux côtés de l'équation sont égaux.<br />e) Pour déterminer l'équation $(\Delta )$ de la tangente à la courbe $(C_{f})$ au point d'abscisse $a$, nous devons utiliser la formule de la tangente à une courbe et substituer $x$ par $a$.<br />f) Pour calculer $f''(x)$ pour tout $x\in ]-1;+\infty [$, nous devons dériver la fonction $f'(x)$ par rapport à $x$ et simplifier l'expression. Ensuite, nous pouvons étudier le signe de $f''(x)$ pour déterminer la concavité de $(C_{f})$ sur $]-1;+\infty[$.<br />g) Pour tracer la courbe $(C_{f})$, nous devons substituer les valeurs de $x$ dans la fonction $f(x)$ et tracer les points correspondants.<br />h) Pour montrer qu'il admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle à déterminer, nous devons trouver l'inverse de la fonction $f(x)$ et déterminer l'intervalle sur lequel elle est définie.<br />i) Pour tracer $(C_{f^{-1}})$ dans le même repère, nous devons substituer les valeurs de $y$ dans la fonction réciproque $f^{-1}(y)$ et tracer les points correspondants.